丘成桐在黑洞与弦理论的工作
作者：刘克峰、徐浩
原载《数理人文》公众号2020年12月3日
本文介绍丘先生在广义相对论，黑洞和弦理论方面的一小部分工作，只挑选了我们自己比较熟悉的部分。我们从卡拉比猜想讲起，特别介绍了黑洞理论和弦论发展中的一些故事。19 世纪以前数学和物理并不分家，20 世纪开始走上了各自发展的道路，21 世纪数学和物理的联系又变得空前紧密。希望读完本文，读者可以和我们一样，感受到引力理论的伟大。
2020 年 11 月 28 日在梅州蕉岭召开丘成桐国际会议中心落成典礼暨卡拉比–丘数学会议。丘成桐向会议中心捐赠了几百件藏品，并捐资设立以父母名字命名的丘镇英、若琳奖学金，每年奖励蕉岭的优秀中学生和教师。在开幕式的讲话中，他动情的说：“我的父母都是客家人，我以身为客家人感到骄傲。”两年前，也是在蕉岭召开的卡拉比—丘理论发展四十年会议上，他承诺要帮助家乡发展教育和文化事业。无论一个人成就有多大，走得有多远，家乡永远都是内心深处最温暖的归宿。
作为当今最伟大的数学家之一，丘成桐多次直言批评中国学术界的弊端，以数学界的凯撒大帝形象示人。其实作为丘先生的学生，我们都深知他的正直坦诚，朴实善良，为发展中国数学尽心尽力。
和大多数孩子一样，丘成桐也是听着牛顿从苹果落地发现万有引力的故事长大的。从万有引力定律发现以来，已经 300 多年过去了。即使爱因斯坦的广义相对论揭示了引力源自时空弯曲，揭秘了黑洞的存在，是公认的最漂亮的物理理论。但是对于黑洞奇点的一无所知，让我们明白，引力究竟是什么，这个问题还远未解决，还需要穷尽几代甚至几十代人的无限想象。从小时候最爱读《红楼梦》，到中学立志要成为数学家，少年时代的丘成桐肯定不会想到，他一生最重要的工作几乎都与引力理论有关。
丘成桐很赞赏孟子的名言：“天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨……”。
下面给大家讲一位中学生的励志故事，他每天步行一个半小时上学……
一个半小时，这正是家住沙田的丘成桐和他就读的培正中学的步行距离。从小在香港郊区长大的丘成桐，并不是一个循规蹈矩的孩子。从小学时多言好动的孩子王，到初中时开始痴迷数学，特别是平面几何。每天上学，他都是边走边思考数学题。他调侃说，思考让时间变短。
鲁迅：天才从来不会循规蹈矩，因为他们想要走出自己的路。
被称为物理奇迹年的 1905 年，在瑞士伯尔尼专利局担任技术员的爱因斯坦发表了 5 篇深刻变革物理面貌的论文。25 岁的爱因斯坦每天的本职工作是审核专利申请，其中不乏永动机之类的发明。
有一位大学生，本科三年级还没读完，就和老师合写出版了一本常微分方程教材。接着被老师怂恿退学直接攻读研究生。不料入学第一年导师学术假在外访问，第二年导师回来了，看了学生过去一年写的文章，说你可以毕业了，这是一种什么体验。这正是 1971 年，伯克利研究生二年级的丘成桐所经历的。他只身从香港负笈来美，举目无亲。好不容易到了第二年，他的中学好友郑绍远也来到伯克利与他合租公寓，他却马上要毕业了。获得博士学位那年丘成桐 22 岁，5 年前他还是培正中学的学生。
毕业前夕，导师陈省身送给丘成桐一本他在 3 年前出版的复流形专著，并在扉页上题字“年值辛亥，余生六十岁矣，薪传有人，愿共勉之”。这本书现在依然是学习陈类最好的教材之一。那年，60 岁的陈省身已是名满天下的几何大师。有位著名的几何学家在提到 Chern–Gauss–Bonnet 定理时说，“只有陈，才能把名字放在高斯前面。”
有一位院士给学生上课，因为讲课内容太难，学期还没过半，只剩下了一个学生，但院士还是坚持把课上完了。这事就发生在伯克利的美国科学院院士 Charles Morrey 身上，那个唯一坚持下来的学生就是丘成桐。Morrey 讲课的教材是《变分法中的多重积分》，这门课奠定了丘成桐的分析功底。多年以后，有学生问椭圆方程的正则性问题，丘成桐立刻就能翻到 Morrey 书中对应的定理。
在伯克利，丘成桐参加各种几何拓扑的讨论班，比如从 Kobayashi（小林昭七）和 Ochiai（落合卓四郎）的讨论班上学习复几何。受广义相对论启发，他也希望构造里奇平坦的爱因斯坦度量。而卡拉比猜想可以看做真空爱因斯坦场方程的复几何版本：在第一陈类为零的紧致复流形上，方程
$$R_{i\bar{j}}=0$$
的解与流形的凯勒上同调类一一对应。
当时大多数几何学家认为，卡拉比猜想简洁到令人难以置信，不可能成立。卡拉比（Eugenio Calabi）曾提出过一个证明思路，后来发现行不通。自此卡拉比猜想就深深的印在了丘成桐的脑海里。就像有的人，仅一面之缘，便再难忘记。
丘成桐的成功，帮助了许多香港学生有机会进入美国大学深造。比如同为陈省身弟子的郑绍远和李伟光。
如果你的第一份工作，BAT 同时给了 offer，但是薪水相差一倍，你会怎么选择？22 岁的丘成桐正面临着幸福的烦恼，一边是代数几何重镇哈佛，一边是分析更强的普林斯顿，最后他听从陈省身的建议，去了薪水只有哈佛一半的普林斯顿。
在黎曼流形调和函数，梯度估计，常平均曲率子流形等方面的工作，已经让他成为一颗数学界冉冉升起的新星。25 岁即担任斯坦福大学正教授，指导着和自己一般年纪的研究生，没有教课任务，还时常被名校用更优厚的待遇吸引加盟。
# 卡拉比猜想的曲折经历
早已功成名就的丘成桐刚到斯坦福大学，就遇到了也许是他人生中最严重的学术危机。1973 年夏，陈省身和 Robert Osserman 在斯坦福主办了一个几何学会议，整整开了 3 周，报告人就有 100 多个。丘成桐向几位参会的朋友透露自己最近发现了卡拉比猜想的反例。消息很快传播开来，在几何学家们的强烈要求下，丘成桐决定当晚就给个报告。
共有 30 多人挤进了斯坦福数学系三楼会场。丘成桐讲了如何用 Cheeger–Gromoll 分裂定理来构造反例。这是一个关于非负第一陈类流形的结构定理。从一个具有数值非负第一陈类的曲面出发，可以用卡拉比猜想构造一个非负里奇曲率凯勒度量，但是这种曲面的结构与 Cheeger–Gromoll 结构定理不符，这就得到了反例。听众中的陈省身和卡拉比也点头表示同意。丘成桐回忆道：“人们都松了口气，毕竟大家都猜对了，卡拉比猜想是不对的。”陈省身称赞这是这次会议最大的收获。
两个月后，卡拉比写信给丘成桐，询问一些细节问题。最后，丘成桐发现了自己推理中的一处漏洞，对第一陈类而言，数值非负并不等同于非负。这个看似无关紧要的疏忽，足以让之后的论证全部失效。
凌晨，斯坦福数学楼，只有丘成桐的办公室还亮着灯。他放下笔，望着满是公式的手稿，他明白，自己试图弥补漏洞的努力，在经历两个星期的无眠后，彻底失败了。他需要放松一下再继续工作。走出数学楼，抬头望见胡佛塔黑色的轮廓，不远处是乌云后只露出一角的月亮。经过椭圆大草坪时，他停了下来。他已经养成了围着草坪散步，思考数学问题的习惯。他想起中学放学时，别的孩子会踢一会足球再回家，而他不行。学校离家要走一个半小时，但是他很享受一路上思考数学题的乐趣。过去两周，他也尝试过其他途径，比如通过凯勒–爱因斯坦流形的陈数不等式，可是这些方法也没引出期待的反例。过去两周的种种艰辛，在他的脑海中又回放了一遍，他动摇了：“如果所有的反例都不存在，那卡拉比猜想应该是正确的。”他抬起头，发现乌云已经散去，明亮的满月，照亮了胡佛塔的红色塔顶。他没有返回数学楼，而是很快回到公寓，两周以来第一次轻松入睡。
丘成桐回忆道：“在反复仔细审阅每个步骤后，我开始坚信卡拉比猜想是正确的。此后几年，我便朝着正确的方向迈进。在达成最后的证明前，需要大量的准备工作。我与郑绍远合作研究蒙日–安培（Monge–Ampère）方程和仿射几何，与 Richard Schoen 和 Leon Simon 合作研究调和映照和极小曲面。”
丘成桐对仿射微分几何的兴趣，源自陈省身的一本从未发表的讲义，其中介绍了卡拉比在仿射微分几何中的最新工作。实的蒙日–安培算子在仿射变换下保持不变，是仿射微分几何研究的重要工具。而卡拉比猜想可以归结为解一个复的蒙日–安培方程。求解线性椭圆方程的理论已经发展的很成熟，但是非线性方程的理论还远未完善。
直到在与郑绍远合作证明实蒙日–安培方程的狄利克雷边值问题解的正则性以及完全解决高维空间的闵科夫斯基问题以后，丘成桐知道，他已经具备了最终攻克卡拉比猜想所需的全部工具。
证明卡拉比猜想用的是“连续性”的论证方法。粗略的说，
要证明一个方程 $f=0$ 可解，有如下的间接方法，先构造一族方程
$$f_s=0,\ \text{其中}\ 0\le s\le 1,$$
使得 $f_1=f$，同时 $f_0=0$ 可解，那么我们只要证明如下集合
$$S=\{s\mid 0\le s\le 1,\ f_s=0\,\text{可解}\}$$
既是开集，又是闭集，就可知 $f=0$ 也可解。
证明 $S$ 是开集需要用到隐函数定理。最后也是最困难的一步是证明S为闭集。由 Arzela–Ascoli 引理，只需要证明以上集合内的所有函数和它们的三阶以内的导数都有界。在不知道方程解的情况下估计解的大小，被称为先验估计。非线性方程的先验估计尤为困难。
1975 年春，丘成桐已经在假设零阶估计成立的前提下证明了二阶和三阶估计。所以彻底解决卡拉比猜想，只需要证明零阶估计。
1976 年夏，丘成桐飞到普林斯顿，向在那里工作的女友郭友云求婚成功。由于友云即将到洛杉矶工作，丘成桐也来到 UCLA 访问，他们约定 1976 年 9 月在洛杉矶完婚。过去一年中，丘成桐无时不刻不在思考零阶估计，包括在开车从东海岸搬家到西海岸的高速上。婚后不到两个礼拜，他终于完成了零阶估计的证明。
在 UCLA 的办公室，丘成桐将一沓厚厚的手稿放在书桌上，他已经数不清这是他第几遍从头到尾检验刚刚完成的卡拉比猜想的证明。最初完成证明时的兴奋已经过去，在投稿前，他想找人一起检验一下他的证明。他想到了 Louis Nirenberg 和卡拉比，和陈师一样，这两位也是他最为敬重的老师。他从他们那里学到了仿射微分几何和蒙日–安培方程的许多技巧。他看到墙上贴的字画“路曼曼其修远兮，吾将上下而求索”。这是他父亲生前最爱的一句古文，也在时刻激励着他。小时候父亲教导他背诵诗词和古文，但他更爱读《红楼梦》、《三国演义》这些古典小说。作为交换，他按照父亲要求背诵了不少古典小说中的诗词。他拿出一张纸，思忱片刻，提笔写下“落花人独立，微雨燕双飞”。这句话用来形容他当时的心情，真是再恰当不过了。
1976 年圣诞节，丘成桐和 Nirenberg，卡拉比相聚纽约，一起探讨卡拉比猜想的证明。不知不觉到了午饭时间，他们发现所有的餐馆都关了门，只好步行到中国城吃了午饭。这也许是丘成桐一生中最难忘的圣诞节。
丘成桐之前思考过的那些反例，现在都成为了卡拉比猜想的推论。卡拉比猜想的解决，为复几何，代数几何和弦理论的发展铺平了道路。
# 广义相对论与黑洞
受麦克斯韦电磁场方程启发，爱因斯坦在光速不变和所有惯性系平权这两大假设下，得到了狭义相对论，即不同惯性系之间通过 Lorentz 变换相联系。狭义相对论完全不考虑引力。由于引力比电磁力弱的多，所以狭义相对论在高能粒子研究中取得了巨大的成功。
1915 年，爱因斯坦在数学家 Marcel Grossmann 和希尔伯特的帮助下，抛开惯性系，从等效原理出发，推导出了引力场方程$$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^2}T_{\mu\nu}$$
左边是里奇张量，减去数量曲率乘以度量张量的一半。右边 $G$ 是万有引力常数，$c$ 是光速（方便起见可取 $c=1$），$T$ 是代表物质和能量的张量。解爱因斯坦场方程，就是在已知 $T$ 的情况下，求解带一个负特征值的黎曼度量 $g$（也称 Lorentz 度量）。
那什么是广义相对论呢？毫不夸张的说，广义相对论=爱因斯坦场方程的推论。
因为太阳占了太阳系 $99.86\%$ 的质量，所以太阳以外可近似看做真空。太阳系行星运行的问题，如果嫌牛顿万有引力定律不够精确，用真空爱因斯坦场方程就足够$$R_{\mu\nu}=0$$
爱因斯坦就是通过真空方程的近似解，准确验证了广义相对论效应造成水星近日点每世纪进动大约 $43$ 弧秒（$0.075$ 度）。这是他在创立广义相对论之初，就梦想解决的难题。爱因斯坦在给朋友的信中写道：“我太高兴了，整整有三天时间不知道干什么才好。”他还预言了恒星光线经过太阳时的偏折角度 $1.75$ 弧秒，和引力场光线红移现象。
Minkowski 度量
$$ds^2=-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$$
是真空爱因斯坦场方程的平凡解。
1908年，闵可夫斯基（Hermann Minkowski）首先提出应该把时间和空间结合成四维时空来看待，给了狭义相对论清晰的几何解释，狭义相对论开始得到广泛认可。闵可夫斯基是爱因斯坦在苏黎世理工大学读书时的数学老师，他在评价狭义相对论时说：“我的一个懒学生，最近做出了划时代的工作。” 1908 年，爱因斯坦到伯尔尼大学担任讲师，这是他获得的第一份大学教职。同年，爱因斯坦被日内瓦大学授予荣誉博士学位。1909 年，爱因斯坦被首次提名诺贝尔物理学奖。闵可夫斯基功不可没。
爱因斯坦的另两位贵人是他的大学同学和一生的朋友 Grossmann 和 Michele Besso。后者可能很少有人听说，他是一位想象力丰富的工程师。Grossmann 是位名副其实的优等生，博士毕业后回到苏黎世理工大学任教。Grossmann 每门课都认真做笔记，而经常逃课的爱因斯坦靠着读他的笔记，总能在学期末的考试中涉险过关。爱因斯坦大学毕业后找不到工作，是 Grossmann 的父亲介绍他到专利局工作。后来 Besso 也来到专利局，成了爱因斯坦的同事。有一次，爱因斯坦和 Besso 正在讨论麦克斯韦方程的问题，争论的不可开交，专利局的头正巧路过，以为他们又在争论永动机专利之类的事，为了方便他们交流，干脆把他们安排到同一个办公室。后来爱因斯坦在 1905 年发表的狭义相对论的论文中，唯一致谢的人就是 Besso。后来 Besso 在广义相对论建立过程中也协助爱因斯坦做了一些工作。
爱因斯坦起初对闵可夫斯基的工作不以为然，认为只是数学上的奇技淫巧。正是 Grossmann 的劝说，让爱因斯坦认识到广义相对论必须考虑四维时空度量。他还帮助爱因斯坦学习张量分析和黎曼几何。1913 年，Grossmann 与爱因斯坦合作发表文章《广义相对论与引力理论概述》。这篇文章虽然包含了错误的场方程。但是其中所包含的重要思想，使得它被公认为广义相对论的两篇奠基之作之一。另一篇，当然就是爱因斯坦 1915 年建立场方程的文章。
黎曼也曾考虑过用三维空间的曲率来解释引力，可惜由于忽略了时间，他的尝试注定无法成功。
真空爱因斯坦场方程第一个非平凡解由史瓦西（Karl Schwarzschild）得到（取光速 $c=1$）$$ds^2=-\left(1-\frac{2GM}{r}\right)dt^2+\left(1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1}dr^2+r^2d\sigma^2$$
其中最后一项是半径为 $r$ 球面的标准度量。
史瓦西是著名天体物理学家，德国科学院院士。在爱因斯坦发表场方程不到一个月，他就找到了场方程的静态球对称真空解。当时正值寒冬，他在苏德战争的前线从事弹道计算的工作。他把文章寄给爱因斯坦之后不久，就得了重病，半年后就病逝了。爱因斯坦收到他的文章后，赞赏有加，称想不到场方程会有这么漂亮的解。他的儿子马丁·史瓦西是研究恒星演化的著名天体物理学家，1947 年到普林斯顿大学工作直到退休，曾获得美国国家科学奖章。
人们已经发现了很多爱因斯坦场方程的解。但史瓦西解仍然是最重要的解。它不仅简化了爱因斯坦之前关于水星近日点进动和光线偏折的计算，也预言了黑洞的存在。如下常数称为引力物质的史瓦西半径 $$r_s=\frac{2GM}{c^2}$$
任何天体如果它的半径小于史瓦西半径，则必然是一个黑洞。（数学家拉普拉斯在 1796 年通过牛顿力学也推导出这个半径，并称之为暗星，即光线无法逃离的星体。）比如太阳的史瓦西半径是 3 公里。而地球要想成为黑洞，需要把地球压缩成一个半径不到 1 厘米的玻璃球。由于黑洞的这种极端性，包括爱因斯坦在内的许多物理学家都不相信黑洞真的存在。
60 年代对于类星体的研究，人们开始慢慢接受黑洞的存在。通常认为黑洞有角动量，旋转的黑洞可以用 Kerr 度量来研究。如果转动不太快，那么史瓦西度量仍然是很好的近似。
对黑洞而言，史瓦西半径处的球面称为视界。视界以内，时空转换，指向原点的 $r$ 轴成为时间轴。由相对论因果律，任何物质一旦进入视界，就无法逃脱，必然在有限时间内到达黑洞奇点。所以黑洞的质量都集中在内禀奇点 $r=0$ 处，唯一的例外，就是在视界上可能发现静止的光子。另外在黑洞 $1.5$ 倍史瓦西半径处，可以存在做圆周运动的光子。人如果在这个位置上，后背发出的光子可以绕到身前，也就是人可以看到自己的后背。
史瓦西半径是黑洞的可去奇点。数学家 Martin Kruskal 发现了史瓦西时空的等距延拓，可以去除视界奇点，将黑洞视界内外的度量光滑连接起来，极大促进了史瓦西黑洞的研究。
彭罗斯（Roger Penrose）和霍金（Stephen Hawking）主导了六七十年代黑洞奇点的研究。彭罗斯获得 2020 年诺贝尔物理学奖的主要工作之一是抛弃了史瓦西解所需的球对称假设，引入了俘获面的概念，并证明如果 4 维时空中存在一个闭合的 2 维俘获面, 那么时空奇点就必然出现。俘获面是 2 维类空子流形，它的平均曲率向量场都指向过去。由相对论因果律，俘获面必然包裹着其内的任何物质和能量，塌缩到一个时空奇点。比如，史瓦西黑洞视界内的所有以原点为圆心的球面都是俘获面。受彭罗斯启发，霍金证明宇宙大爆炸的奇点具有无穷密度。
从爱因斯坦场方程出发，研究俘获面的形成机制是非常困难的数学问题，首先必须对时空中物质的密度条件加以限定，这涉及到相对论中质量的定义。
# 正质量猜想与黑洞
在 1973 年斯坦福举办的几何会议上，物理学家 Robert Geroch 在报告中介绍了广义相对论中的正质量猜想，就是说一个渐进平坦时空，如果局部质量密度非负，那么总质量（ADM质量）也一定非负，其为零当且仅当它是 Minkowski 时空。这个看起来很简单，其实却非常难的命题，它的微妙之处在于广义相对论中的质量不等于密度的积分。正质量猜想当时对数学家来说太难了，一大堆物理条件需要澄清，还需要进一步发展极小曲面理论。但这注定又是一个让丘成桐着迷的问题。
许多数学家陆续证明了一些特殊情形。直到 1978 年，丘成桐和他的学生 Schoen 合作用极小曲面理论对具有非负数量曲率的三维黎曼流形进行了深刻研究。他们深刻分析了嵌入在三维类空超曲面中的完备极小曲面，用反证法证明了正质量猜想。在他们手中，极小曲面这种原本高度复杂的几何对象，被驯服的就像测地线一样的温顺。
斯坦福的夏天温暖又舒适，丘成桐和 Schoen 通常会在一起工作一整天，然后开十几分钟的车到 Los Altos 的别墅。晚上 10 点后，经常可以看到他们一起在院子的游泳池里游泳。
1981 年的一天，丘成桐正在 IAS 的办公室，他的同事 Freeman Dyson 来敲门。Dyson 向丘成桐引荐了一位年轻人，就是现在大名鼎鼎的物理学家 Edward Witten。当时 Witten 只有 30 岁，他刚刚用 Dirac 旋量给了正质量猜想的新证明。这个另辟蹊径的证明让丘成桐很惊讶。物理学家尤其喜欢 Witten 的证明，因为他们不需要再钻研复杂的极小曲面理论了。丘成桐和 Schoen 的工作被广泛应用在几何分析特别是数量曲率的研究中。比如 Schoen 应用它解决著名的 Yamabe 问题。
1983 年，作为正质量定理的延续，丘成桐与 Schoen 证明：对一个紧致三维类空超曲面 $M$，如果局部质量密度足够大，那么 $M$ 中必存在与球面微分同胚的闭合俘获面，从而塌缩形成黑洞。这项工作表明，研究俘获面的动态形成，只需要找到合适的条件，使得质量能够发生汇聚。这是关于俘获面存在性的第一个严格的数学证明。
2009 年，Demetrios Christodoulou 在一本 600 页的专著中，惊人的证明了在一无所有的真空中，只要来自四面八方的引力波足够强，就可以形成俘获面。
1979 年，Sergiu Klainerman 在丘成桐的邀请下到斯坦福大学做个报告。内容是关于高维非线性波动方程解的整体存在性。这是他一年前博士毕业论文的主要工作。报告结束，丘成桐告诉他，广义相对论中有一个重要的猜想，关于 Minkowski 时空的整体稳定性。这个猜想应该和他的报告有关。Klainerman 当时觉得很惊讶，自己的工作几乎与几何无关，怎么会与广义相对论有联系。但是很快，他就发现丘成桐的建议给他指出了一个极富挑战性的研究方向，深刻改变了他的学术生涯。此后他开始涉足广义相对论这个领域，终于在十年后与 Christodoulou 合作证明了 Minkowski 时空的整体稳定性。这项工作成为了 Lorentz 几何的奠基之作。这是美国科学院院士，普林斯顿大学教授 Klainerman 在祝贺丘成桐 70 岁生日时分享的故事。
在 1982 年的一篇文章中，彭罗斯列出了 14 个他认为比较重要的相对论中的未解难题，其中第一个问题是“找到广义相对论中能量-动量的合适的拟局部定义”。数学上来说，就是需要通过在四维时空中二维类空闭曲面上的积分来定义“拟局部质量”，同时要保证它是正的，并且随曲面增大时趋向孤立系统总质量（ADM 质量或 Bondi 质量）。从五十年代开始，就有众多学者试图给出一个合理的拟局部质量的定义，其中比较著名的有霍金质量，Brown–York 质量，以及丘成桐与他的学生刘秋菊和王慕道定义的 Liu–Yau 质量和 Wang–Yau 质量。近年来，丘成桐与王慕道，陈泊宁合作，在拟局部质量的研究中取得了重要突破。
# 量子场论
量子力学中，微观粒子的空间分布由薛定谔方程的波函数解来描述，但是薛定谔方程要求粒子数量和种类固定，无法处理狭义相对论中的质能转换可能导致的粒子湮灭和创生。作为薛定谔方程的相对论版本，相对论量子力学中的 Klein–Gordon 方程和 Dirac 方程的解不再是波函数，而是场算符。这就诞生了量子场论，有人认为它是最高深的物理理论。
量子场论将粒子视为场的激发态，粒子之间的相互作用以相应场之间的交互来描述。场是比粒子更加基本的对象。量子场论是经典场论，量子力学和狭义相对论的综合理论。
经典的场包括牛顿引力场和麦克斯韦电磁场。最早的量子场论就是电磁场的量子化，称为量子电动力学（QED）。量子场论中的物理量计算要用到摄动展开。比如 QED 中的摄动展开$$T(a)=T_0+aT_1+a^2T_2+\cdots$$
其中 $a$ 是精细结构常数，约等于 $137$ 的倒数，与基本电荷平方和光速的比值有关。虽然这是个发散级数，但是前几项还是很好的逼近。
量子场论摄动级数中的每一项可以用费曼图来简化计算，但是会遇到积分发散而导致系数无穷大的问题。这个难题可以用重整化的方法解决。
规范场论是具有规范对称性的一种特殊的量子场论。描述电磁力的量子电动力学具有阿贝尔规范群 $\mathrm{U}(1)$。后来被 Yang-Mills 推广得到非阿贝尔群 $\mathrm{SU}(N)$ 的规范场论。规范群 $\mathrm{SU}(2)$ 可以描述弱相互作用。描述强相互作用的量子色动力学（QCD）具有规范群 $\mathrm{SU}(3)$。
总而言之，粒子物理标准模型是基于 $\mathrm{SU}(3)\times\mathrm{SU}(2)\times \mathrm{U}(1)$ 的规范场论，它统一了自然界四大基本力中的三种——电磁力、弱相互作用和强相互作用。只有引力被排除在外。这是量子场论取得的最伟大的成果。
规范场论在数学中也有重要的应用。M. Atiyah，N. Hitchin，I. Singer 和 K. Uhlenbeck 奠定了规范场论的数学基础，此后诞生了四维流形研究中非常重要的 Simon Donaldson 不变量和 Seiberg–Witten 不变量。1986年，丘成桐与Uhlenbeck证明凯勒流形上稳定向量丛的Yang-Mills方程存在唯一解。这项工作在弦理论中也有重要应用。
# 弦理论
从爱因斯坦开始，几代物理学家梦寐以求的就是将量子力学和广义相对论统一到同一个理论框架下。这就是大统一理论。经过几代物理学家的努力和无数次的失败，现在弦理论被认为最有希望完成大统一的理论。
弦理论和 M 理论也都是特殊的量子场论。弦理论原本是为了研究强相互作用而引入，后来败给了 QCD。弦理论的基本假设是，宇宙最基本的粒子是一些振动的弦，不同的振动状态对应不同的粒子。粒子可以分为玻色子与费米子，玻色子（包括光子，胶子，希格斯玻色子）是传递作用力的粒子，费米子（包括夸克，电子）是组成物质的基本粒子。玻色子传递的作用力使得费米子能够结合在一起。
在弦论中，传递引力的引力子是一种质量为零，不带电荷的玻色子。所以弦论是一种量子引力理论。另一个主流的量子引力理论是圈量子引力。最早期的弦理论叫做玻色弦理论，只包含玻色子。后来弦论学家引入超对称，假定每个玻色子都有一个对应的费米子。这就诞生了超弦理论。现在人们谈论的弦理论，都是指超弦理论。
弦论学家们发展了五种自恰的超弦理论，这五种理论看起来很不相同，但每一种都很合理地揭示了一些物理中的奥秘。在 1994 年的第二次弦理论革命中，威滕提出了 M 理论将这五种理论联系在一起，发现它们彼此是通过弦对偶互相等价的。过去十几年间，弦对偶已经产生出了很多惊人的数学与物理成果。把在不同的弦理论中的计算公式通过对偶等同起来，人们得到了许多令人叹为观止的数学公式和方程。比如 Marcos Marino 和 Cumrun Vafa 从陈–赛蒙斯理论和拓扑弦理论的对偶，得到一类 Hodge 积分的生成级数等于陈–赛蒙斯不变量表达的有限闭公式的猜测。这个猜测被刘秋菊，刘克峰和周坚证明。Marino–Vafa 公式也可以推出 Witten 关于曲线模空间相交数的猜想。本文的两位作者后来应用 Witten 的猜想给出了曲线模空间理论中的核心问题 —— Faber 相交数猜想的证明。
1984年，丘成桐接到他以前的博士后 Gary Horowitz 和好友 Andrew Strominger 的电话。他们告诉丘成桐，最近他们的工作中，发现弦论中蜷缩起来的额外六维空间，如果满足超对称条件，那么必定是里奇平坦的凯勒流形，即卡拉比–丘流形。他们的结果发表在 Candelas–Horowitz–Strominger–Witten 1985 年的文章里。弦论的宇宙模型是一个十维流形，四维时空的每一点上都蜷缩着一个普朗克尺度的六维紧致卡拉比–丘流形。
超弦理论在 80 年代后期得到了飞速的发展，让数学家特别感兴趣的是其中被称为镜对称猜想的理论，简单的说，就是一个（复三维）卡拉比–丘空间的复几何，可以等价于另一个卡拉比–丘空间的辛几何。辛几何的 Gromov–Witten 不变量对应卡拉比–丘空间上有理曲线，复几何的 Hodge 结构形变告诉我们这些有理曲线的数目可以用求解一个四阶的 Picard-Fuchs 常微分方程得到。1990 年英国物理学家 Philip Candelas 与合作者的这项工作震惊了数学界。近百年来代数几何学家都在试图计算这些有理曲线的数目，却只能得到 3 次以下有理曲线数目。而 Candelas 的公式通过计算一个很简单的常微分方程，就给出了任意次数有理曲线的数目。为了证明这个公式，数学家们开始为镜像对称建立一套严格的数学理论，在这过程中，诞生了如量子上同调，量子微分方程等许多崭新的数学。
1990 年，丘成桐在伯克利数学研究所组织了一个有关弦论和几何的国际会议。会上物理学家和数学家起了一点争执。原来，两位挪威数学家 Geir Ellingsrud 和 Stein Stromme 用代数几何方法计算了卡拉比–丘空间上三次有理曲线的数目，得到 $2,683,549,425$。而根据 Candelas 公式，这个数目应该是 $317,206,375$。这次争执直到几个月后才有结果，原来是两位数学家的计算机代码有一个错误，改正后得到了与 Candelas 公式同样的结果。这个插曲让数学家更加相信镜对称可以有严格的数学解释。直到 1997 年，丘成桐与刘克峰，连文豪合作用局部化技巧给出了 Candelas 公式的完整证明。
镜对称猜想的几何解释目前主要有两种，一个是 Maxim Kontsevich 的同调镜像猜想，另一个就是 1996 年丘成桐与 Strominger，Eric Zaslow 合作提出的 SYZ 猜想。这是目前辛几何与代数几何研究中的热门问题。2006 年，丘成桐与傅吉祥构造了非凯勒流形上的 Strominger 方程的解，这是一个来自弦论的重要方程。
奖金 300 万美元的基础物理突破奖自 2012 年颁发以来，半数以上都发给了弦论学家。因为一直没有实验证实，弦理论曾经是一个备受争议的研究领域。一方面，弦论学家仍然寄希望于高能粒子对撞机能够发现弦论所预言的额外维和超对称粒子。另一方面，除了对数学的巨大推动，弦论方法已经在凝聚态物理和粒子物理中找到了应用。丘成桐八十年代以来，积极推动弦论和数学的交流，招收从事弦论研究的博士生和博士后，力促哈佛大学引进弦论学家。弦论能有今天的地位，与他的努力是分不开的。
# 全息原理
Bekenstein–Hawking 公式告诉我们，黑洞的熵正比于黑洞视界的面积。这说明，落入黑洞的所有物质的信息可能都存储在黑洞的视界附近。受此启发，90 年代，特霍夫特（Gerard ’t Hooft）提出了著名的全息原理，后来 Leonard Susskind 给了一个弦论的解释。他们猜想，在量子物理中，一个空间的全部信息可以包含比它低一维的边界上。
1997 年，阿根廷物理学家 Juan Maldacena 提出 AdS/CFT 猜想：一个五维 anti-de Sitter 时空的引力理论（比如弦理论或 M 理论），等价于它的边界上的共形场论（一种共形不变的量子场论）。Witten 后来给了 AdS/CFT 对应更精确的数学描述。Maldacena 的这篇文章是高能物理领域引用次数最多的文章。AdS/CFT 对应可以看做全息原理的一个重要实例。1999 年，丘成桐与 Witten 合作，用几何测度论解决了 AdS/CFT 对应中的两个重要难题。目前 AdS/CFT 对应仍然是一个未解决的问题。
全息原理告诉我们，宇宙中所有的信息可能都存储在宇宙的边界上。如果说全息投影用的是3D投影仪，那么上帝在遥远的宇宙边界上掌控着宇宙中的一切，用的则是我们目前还远远未知的物理规律，而爱因斯坦场方程和薛定谔方程只是这些规律的表象。
# 结语
在哈佛科学中心三楼的数学图书馆，直走到底，有一间不起眼的小房间。无论是面积还是设施，都远不如国内大部分教授的办公室。经常可见有来访的学者和学生在办公室外排队等着约见丘先生。每周一三五上午 9 点到 12 点，是 Yau 学生讨论班的固定时段，通常每次有两个人给报告。此外，他还组织博士后访问学者讨论班，数学系的微分几何讨论班。30 年来一直如此。每晚十点，在哈佛科学中心走廊上还可以经常看到他的身影。与丘先生相比，我们永远都不敢说自己已经很用功了。
弦论学家大多也都是广义相对论的专家。比如 Witten 曾因为给出正质量猜想的新证明获得菲尔兹奖。Strominger 和 Vafa 用弦论重新证明了 Bekenstein–Hawking 公式。即使今天任何一个数学专业的大学生，他的数学知识都要超过当年的牛顿。但是自从牛顿发现万有引力定律，300 多年后的数学家和物理学家依然还在探寻引力真相的道路上摸索着，这就足以见得牛顿的伟大。
丘先生做过一个比喻，游泳时你会感受到水的阻力。就像希格斯场的阻力能给物质带来质量那样，水的阻力也能给你前进的动力。如同科学研究，遇到难题时的挫折，才会真正激励你前行。
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