（前四篇见：你完全可以理解量子信息（1） | 袁岚峰

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七、第三大奥义：纠缠

前面说的都只是一个量子比特的体系，已经有这么多不可思议之处。多个量子比特的体系，可想而知会更加奇怪。这就引出了“量子纠缠”现象，——你听说过这个词，对不对？

量子纠缠在许多文章中被传得神乎其神，几乎成了心灵感应、神秘主义的代名词。但其实量子纠缠是一个有明确定义的概念，是一种被量子力学预言必然出现也早就观测到了的现象。它的物理原理很清楚，绝大部分神秘感都是被故弄玄虚的媒体强加上去的。看了下面的解释，你就明白它实际上是什么了。

我们先来看一个数学问题。拿出一个二元函数F(x, y)，你来试着把它写成一个关于x的函数f(x)与一个关于y的函数g(y)的乘积，也就是说，寻找f(x)和g(y)，使得F(x, y)= f(x) g(y)。如果可以，我们就说F(x, y)是可以“分离变量”的。如果不行，我们就说它不能分离变量。同样的定义可以推广到二元以上的函数，例如F(x, y, z) 是否可以写成f(x) g(y) u(z)，就是这个三元函数能不能分离变量。

显然，有些二元函数是可以分离变量的。例如F(x, y) = xy，你取f(x) = x和g(y) = y就可以了。（这是道送分题！）又如F(x, y) = xy + x + y+ 1，仔细看看你就会发现它等于(x + 1) (y + 1)，所以取f(x) = x + 1和g(y) = y + 1即可。

然而，如果F(x, y) = xy + 1呢？这时你就会发现，无论如何也不能把它表示成f(x)g(y)。

对此可以用反证法证明如下：假设F(x, y) = f(x) g(y)，那么对y取两个值y₁和y₂时，F(x, y₁) = f(x) g(y₁)，F(x,y₂) = f(x) g(y₂)。这两个式子相除，就会把f(x)消掉，得到F(x, y₁) / F(x, y₂) = g(y₁) / g(y₂)。等式的右边g(y₁) / g(y₂)是一个与x无关的数，因此等式的左边F(x, y₁) / F(x, y₂)也必须是个与x无关的数。可是对于F(x, y) = xy + 1，设y₁ = 0，得到F(x, y₁) = 1，设y₂ = 1，得到F(x, y₂) = x+ 1。两者相除得到F(x, y₁) / F(x, y₂) = 1/ (x + 1)，跟x有关。因此初始的假设不对，F(x,y) = xy + 1不能分离变量。

有了以上的数学准备，我们就可以解释量子纠缠是什么了。

在量子力学中，体系的状态（没错，就是前面说的态矢量）可以用一个函数来表示，称为“态函数”（是的，你既可以把它理解为一个函数，也可以把它理解为一个矢量，两者不矛盾，怎么方便怎么来）。单粒子体系的态函数是一元函数，多粒子体系的态函数是多元函数。如果这个多元函数可以分离变量，也就是可以写成多个一元函数直接的乘积，我们就把它称为“直积态”。如果它不能分离变量，我们就把它称为“纠缠态”。

直积态和纠缠态的区分为什么重要？我们举些例子来说明。

在量子力学中，我们常常用类似|00>的狄拉克符号来表示两粒子体系的状态，其中第一个符号表示粒子1所处的状态，第二个符号表示粒子2所处的状态，|00>就表示两个粒子都处于自己的|0>态。同理，|01>表示粒子1处于自己的|0>态、粒子2处于自己的|1>态，|11>表示两个粒子都处于自己的|1>态，如此等等。

这些状态都是直积态，体系整体的二元态函数就是两个粒子各自的一元态函数的乘积。对于直积态，你在测量粒子1的时候，不会影响粒子2的状态，所以你可以说“粒子1处于某某状态，粒子2处于某某状态”。这就是分离变量的结果。

下面我们来考虑这样一个状态：|β₀₀>= (|00> + |11>)/√2，它是|00>和|11>的一个叠加态（是的，叠加原理对多粒子体系也成立）。这个态是不是直积态呢？也就是说，(|00> + |11>)/√2能不能写成(a|0> + b|1>) (c|0> + d|1>)（前一个括号中是粒子1的状态，后一个括号中是粒子2的状态）？

你立刻就会发现，不能。假如可以的话，因为这个状态中不包含|01>，所以ad = 0，于是a和d中至少有一个等于0。但是如果a = 0，|00>就不会出现；而如果d = 0，|11>又不会出现。无论如何都自相矛盾，所以假设错误，|β₀₀>不是直积态，而是纠缠态，不能分离变量。这就意味着，不能用“粒子1处于某某状态，粒子2处于某某状态”这样的语言来描述|β₀₀>，你只能说这个体系整体处于|β₀₀>状态。

真正惊人的事情，发生在对|β₀₀>做测量的时候。你对它测量粒子1的状态，会以一半的概率使整个体系变成|00>，此时两个粒子都处于自己的|0>；以一半的概率使整个体系变成|11>，此时两个粒子都处于自己的|1>。你无法预测单次测量的结果，但你可以确定，粒子1变成什么，粒子2也就同时变成了什么。两者总是同步变化的。好比成龙的电影《双龙会》中有心灵感应的双胞胎，一个做了某个动作，另一个无论相距多远都会做同样的动作。

成龙《双龙会》

在许多科普文章中，也经常用另一个态(|01> + |10>)/√2作例子，我们可以把它记为|β₀₁>。这个态的特点是，你对它测量粒子1的状态，会以一半的概率发现粒子1处于|0>，粒子2处于|1>，另一半概率发现粒子1处于|1>，粒子2处于|0>。你无法预测单次测量的结果，但你可以确定，粒子1变成什么，粒子2就同时变成了相反的状态。下面的漫画表现的就是这个态。

量子力学中的“纠缠”

有趣的是，纠缠这个重要的量子力学现象，是由几位反对量子力学的科学家提出的，而且其中的“带头大哥”就是爱因斯坦！

《天龙八部》带头大哥

如前所述，爱因斯坦是量子力学早期的奠基人之一。实际上，他得诺贝尔奖不是因为提出相对论，而是因为提出光量子（即光子）理论（这是诺贝尔奖委员会做过的最搞笑的事情之一）。但随着量子力学的发展，爱因斯坦对量子力学的许多特性产生了深深的怀疑。

他认为每个粒子在测量之前都应该处于某个确定的状态，而不是等到测量之后，否则就不能叫做“物理实在”。爱因斯坦的一个经典问题是：“你是否相信，月亮只有在我们看它的时候才存在？”

1935年，爱因斯坦（Albert Einstein）、波多尔斯基（Boris Podolsky）和罗森（Nathan Rosen）提出了一个思想实验，后人用他们姓的首字母把他们三人合称为EPR。先让两个粒子处于|β₀₀>态，这样一对粒子称为“EPR对”。把这两个粒子在空间上分开很远，可以任意的远。然后测量粒子1。如果你测得粒子1在|0>，那么你立刻就知道了粒子2现在也在|0>。

EPR问：既然两个粒子已经离得非常远了，粒子2是怎么知道粒子1发生了变化，然后发生相应的变化的？EPR认为两个粒子之间出现了“鬼魅般的超距作用”，信息传递的速度超过光速，违反了狭义相对论。所以，量子力学肯定有毛病。

这是个深邃的问题，量子力学的另一位奠基人玻尔为此跟爱因斯坦进行过激烈的辩论。玻尔的回答是：处于纠缠态的两个粒子是一个整体，绝不能把它们看作彼此独立无关的，无论它们相距有多远。当你对粒子1进行测量的时候，两者是同时发生变化的，并不是粒子1变了之后传一个信息给粒子2，粒子2再变化。所以这里没有发生信息的传递，并不违反相对论。

玻尔与爱因斯坦

仔细想一想，你就会明白EPR实验没有传输信息。如果A希望把一比特的信息“0”或“1”传给远处的B，那么双方需要事先约定好如何表示这个信息，比如说A想传“0”时就让B测得粒子2处于|0>，A想传“1”时就让B测得粒子2处于|1>。假如A能控制测量的结果，比如说这次A一定会让粒子1处于|0>，那么A同时就让粒子2处于了|0>，A确实就给B传了一个“0”。

但是，量子力学的精髓恰恰在于测量的结果是随机的，你不能控制，所以EPR实验不能这么用。A测量粒子1得到的是一个随机数，B测量粒子2得到的也是一个随机数，只不过这两个随机数必然相等而已。你想传一个比特，可是EPR对完全不听你指挥，所以你传不了任何信息。既然没传输信息，当然就不违反狭义相对论了。

在爱因斯坦和玻尔的时代，人们只能对EPR问题进行哲学辩论（这是好听的说法，说得通俗一点就是“打口水仗”），无法通过实验做出判断。1964年，贝尔（John S. Bell）指出，可以设计一种现实可行的实验，把双方的矛盾明确表现出来。对两粒子体系测量某些物理量之间的关联程度，如果按照EPR的观点，这些物理量在测量之前就有确定的值，那么这个关联必然小于等于2；而按照量子力学，这个关联等于2√2，大于2。这个“关联小于等于2”的不等式叫做贝尔不等式，而量子力学不满足贝尔不等式。

漫画：贝尔不等式

从1980年代开始，阿斯佩克特（Alain Aspect）等一系列的研究组在越来越高的精度下做了实验，结果都是在很高的置信度下违反贝尔不等式，量子力学赢了。EPR的思想实验最初是用来批驳量子力学的，结果却证实了量子力学的正确！

类似的故事在科学史上也常有。十九世纪的时候，泊松（Simeon-Denis Poisson）主张光是粒子，菲涅耳（Augustin-JeanFresnel）主张光是波动，两个阵营打得不可开交。1818年，菲涅耳计算了圆孔、圆板等形状的障碍物产生的衍射花纹。泊松指出，按照菲涅耳的理论，在不透明圆板的正后方中央会出现一个亮点。从常识来看，不应该是暗的吗？于是泊松宣称波动说推出了荒谬的结果，已经被驳倒了。

但是菲涅耳和阿拉果（Dominique F. J. Arago）立即做实验，结果显示那里真的有一个亮斑（学过光学的同学能够理解，这是因为所有到达那里的衍射光都经过同样的路程，发生同相的叠加，互相加强）。于是波动说大获全胜，粒子说被打入冷宫（1905年被爱因斯坦复活了，这就是他得诺贝尔奖的原因）。后人很有幽默意味地把这个亮点称为泊松亮斑。这正应了尼采的话：“杀不死我的，使我更强大！”

泊松亮斑

EPR现象既然是一个真实的效应，而不是爱因斯坦等人以为的悖论，人们就想到利用它。现在，EPR对是量子信息中一个非常有力的工具。对此我们只能说，伟人连错误都是很有启发性的！就像《大话西游》中的名言：跑都跑得那么帅~

《大话西游》紫霞仙子：跑都跑得那么帅，我真幸福

现在科学家们认为，纠缠是一种新的基本资源，其重要性可以和能量、信息、熵或任何其他基本的资源相比。不过目前还没有描述纠缠现象的完整的理论，人们对这种资源的理解还远不够深入。有人把纠缠比喻为“青铜时代的铁”，它可能会在下一个历史时代大放异彩。

对量子纠缠的种种误解，经常出现在各种半吊子“科普”文章或者装神弄鬼的文章中。这里来稍稍解释一下。

最经常见到的误解是：量子纠缠是个非常神奇的现象，没有人知道它的机制是什么。

实际情况是：量子纠缠的机制就是上面说的这些，叠加原理，测量时的突变，直积态和纠缠态的区别。其实量子纠缠是一个被理论预言然后确实观察到了的现象，而不是意外的实验发现，所以，科学家怎么可能不知道它的机制呢？

如果你觉得这些不像个“机制”，那么请你想想，2 + 3 = 5的机制又是什么？我们只能说，2 + 3 = 5是自然数理论的必然推论，自然数理论就是它的机制。量子纠缠现象就是量子力学原理的必然推论，你不可能把量子力学之外的东西搞成它的机制。

经常有人脑洞大开地提议，量子纠缠的机制是，两个相距遥远的粒子在高维空间里连在一起，或者说它们的“内部距离”为零，我们平时看到的三维空间是高维空间的投影。这种说法看起来很机智，实际上没有什么用处。因为它完全是为了解释量子纠缠这一个现象而提出来的，而且只是定性解释，不能给出任何定量预测，也不能用到任何别的现象上。这只是一种语言游戏而已。

就像有的原始人看到飞机飞行觉得很神奇，造个理论说有一只大鸟的魂灵在这铁鸟里面托着它飞，在其他原始人看来好像很有道理，在内行看来却是多此一举。真要想理解飞机的原理，你就必须学空气动力学。同样，真要想理解量子纠缠的原理，你就必须学量子力学，舍此别无他途。

还有一种常见的误解，是以为任何两个粒子都会横跨整个宇宙同步变化。实际情况是，只有处于纠缠态的两个粒子才会这样。这是一个需要条件的现象，不是无条件的，而且在实验上精确制备这种条件还很不容易。

量子纠缠是一种多粒子体系的现象，而粒子越多，操纵起来当然就越困难。所以你会不时地看到这样的新闻：中国科学技术大学潘建伟团队实现了x个光子的纠缠态，刷新了以前同一研究组创造的y个光子纠缠的世界纪录。最新的x = 10，y = 8，这是2016年12月的消息。多次打破世界纪录的撑杆跳高名将布勃卡和牙买加飞人博尔特，就是这个feel！

十光子纠缠

最大而无当的误解，是以为量子纠缠证明了某种神秘主义的哲学或宗教，大发一通包罗万象、鬼话连篇的议论。实际情况是，量子纠缠是个原理很清楚的物理现象。你要拿它来讨论哲学或宗教，至少也该先搞清楚它是什么！

（未完待续）

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