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六度分割理论的简单证明 精选

已有 4747 次阅读 2016-9-24 21:18 |个人分类:统计学探讨|系统分类:论文交流

首先,需要对六度分割理论的具体内涵进行尽量严格的定义,笔者的定义如下:

在一个正常的社会关系网中,任何两个具有正常社会交往的人之间,其最短的人际距离最多不超过5。即Max(min(F1@F2))5

人际距离的定义:任意两个互相认识的人之间的人际距离均为1,自己与自己的人际距离为0。上式中,以F1@F2来代指任意两个人之间的人际距离。当F1=F2时,F1@F2=0;当F1F2但互相认识时,F1@F2=1

具有正常社会交往的人:指智力正常,且其日常生活与周围人群有正常往来的成年人(说明1)。

说明1:为何如此定义正常人?因为存在以下特例:未成年人尤其是幼儿、儿童,以及无正常行为能力的人(如智障等)均不符合该理论,对于这类人的寻找,需要人际距离总和加1,即应为6。此外,原始部落、极度自我封闭的人群也不能算(如邪教,自闭政权下的人群等,这些需要另行分析)。

说明2:为何称6度分割理论而不是5度分割理论,理由是把首尾的人都数上,就是6个人而不是5个。

证明如下:

要证明六度理论,首先要证明以下引理:任意两个有着正常社会交往的人之间,其各自认识的人中,至少有100个是对方不认识的(可以放宽为‘基本可以认为是对方不认识的’)。

要证明该引理,只需任意找两个成年人来进行如下考查:任何两个成年人之间,从出生到18岁,其认识的人之中,应至少有100个是对方不认识的。这又可以分成以下情形进行考查:1.两名同学之间;2.两名兄弟姐妹之间;3.两名双胞胎之间;4.夫妻之间;5.同事之间;6.长辈与晚辈之间(不仅指父母子女之间);7.邻里之间;8.伙伴之间;等等。事实上,上述8种人际关系基本概括了所有两两认识的人之间的相互关系,对于这8类关系我们可以逐一进行考查。显然,后5种关系是比较容易满足‘至少有100个是对方不认识的’这个条件的。重点要考查前三种关系。对于这三种关系,又可细分不少情形,如是否一直上学,还是辍学打工;是否一直同班,还是曾经分班等等。大体的估计是,一个人从幼儿园到高中毕业,其认识的同学大概有4*50=200名,分摊到两人头上每人也有100个,再加上各自的亲人、邻里等,应可基本符合‘至少有100个是对方不认识的’这个条件。困难点的是双胞胎,如果父母有意一直让其同班的话,要满足这个条件需要更大一些的年纪,但这毕竟是极少数的特例。

如果上述引理可以被认可的话,则可以进行下一步推理了。即:100**5=10**10,为100亿,(**指次方)全球目前的人口70亿左右,小于100亿,因此,地球上任意两个人之间的最短人际距离最大不超过5是基本成立的。

本文的上述推理方法还可以得到一个比较有意思的推论,即:任意两个有着正常社会交往的普通人之间,其各自认识的人中,对方不认识的人通常不超过1000个。理由是,如果这个数值普遍能达到1000的话,则会成为5度理论,因为1000**4=10**12,为万亿,仅4次传递就已经远大于地球人口。更为大胆的推测是,这个数小于300,因为300**4=81*10**8,为81亿,即意味着如果任意两个普通人都能满足‘至少有300个是对方不认识的’话,则世界将会是5度分割的,而不是6度分割。

注:在信息化条件下,寻找一个人会更加容易,两个完全不认识的人之间可以通过网络信息互相联系。要找到一个陌生人通过网络联系可以比被以互相认识的人的介绍的方式去联系更快(当然,只是可能,而不是一定会更快)。这个问题不再本文的讨论范围之列,需要另行专门研究。

后记:关于六度理论的证明,我在第一次听说这个理论时就想到了这个方法(大概是10年前),一直没有写成文字,最近趁有些闲工夫,写出来玩玩,权且当作一个智力小游戏。

2013-1-6

补充:

小于300的可能启示:任意两人之间,一方认识另一方不认识的人最多不超过300个如果是正确的话,意味着这是人的认识能力/交往能力的某种上限值(当然,是统计意义上的)。

有关引理的一点补充:引理中欠缺了对这样一种疑问的解释:虽然每两个人直接可以以100的系数来传递,但当传递到第三个人时,如何考虑会转回来的问题(即认识的人存在相同的情况,因此再乘100可能有问题)?

对于这个问题,一个简单的解决思路是这样的:两两之间对方不认识的人最少是100个,但100并不是一个人认识的所有人。一个人所能认识的人肯定会显著地大于100。因此,我们要找出的这100个人是其所认识的人中相互距离最远的,这样就应该能有效避免转回来的情况。不过,要充分证明这一点,需要证明这样一条引理(即为了解决刚才提到的那个问题,需要增加一条引理):对任意一位正常的成年人而言,其认识的人通常会显著地大于100个,在这些人中,总可以较容易地找到100个这样的人——这100人中的任意一个人,其所认识的人中至少有100个是其他99个人所不认识的(或基本不认识的)。

如果我们仔细考查日常生活中的各种人群的话,应可基本认为上述新增引理对于一个正常的成年人来说是基本正确的,具体举例略。

 

 



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