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[按:下文是邮件笔记的内容,标题又简化。]
“要有光。就有了光。”
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题记:刚才发出邮件笔记后,忽然有了想法。不着急写,坐在沙发上抽了一顿烟。又穿好衣服,走了一个街区,去吃了早饭。
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构造例子3.2的可能思路。原著提到“The next simplest example”,这是唯一的提示。回顾例子3.1,α(ξ)和β(ξ)都是常数,忽然想到 —— 要有变量。就有了变量。(此处指ν)。
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之前已经看到,α(ξ)=β(ξ)=2-1/2eiξ与常数情形是等价的,这是因为Q(eiξ)容许相位因子eiKξ。换句话说,为了让变量ξ出现,只有eiξ还不够,但也暗示要有eiξ。由于还不够,就考虑引入参数ν。
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接着,如果能想到分子和分母都出现ν,就接近答案了:为了让自由实参数ν安稳地出现在分母上,令分母为ν2+1是最简单的。
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分子上有eiξ 和ν。由于要构造两个函数α(ξ) 和 β(ξ),需要制造差异性。就有了ν-1 和 ν+1。
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现在,分子上有四个元素,试设计简单组合,对于ξ=0,结合分母ν2+1,要满足基本条件α(0) = β(0) = 2-1/2。
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令 α(ξ) = 2-1/2f(ν-1,ν,ν+1,eiξ)/(ν2+1), β(ξ) = 2-1/2g(ν-1,ν,ν+1,eiξ)/(ν2+1)。则构造的目标是,对于ξ=0,使得 f(ν-1,ν,ν+1,ei0)=g(ν-1,ν,ν+1,ei0)=ν2+1。
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分子的四个元素,可能的简单分组之一为 {ν-1, ν}和{ν+1,eiξ},组内做乘法,各组相加,得:(ν-1)ν + (ν+1)eiξ。对于ξ=0,有(ν-1)ν + (ν+1)=ν2+1。
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注意到ν-1和ν+1的对称性,把ν分配给ν+1,结果不变。
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事就这么成了。
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小结:以上提出了原著“徒手”构造例子3.2的可能思路。尽管如此,原著作者如何能够预见到,取ν=±1/√3,使得m0(ξ)包含两个(1+eiξ)因子的呢?又问,第三简单的α(ξ) 和 β(ξ) 构造是怎样的?(一个人围着模型练习和体会各种招数,是为"木人桩")。
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参考资料
例子(3.42)的验证 2024/7/24
例子3.1的验证 2024/7/20
三角因式之谜 2024/7/18
惊奇是一种能力 2024/7/14
原著、原著、原著... 2024/7/13
φ-计划之若干摘录 2024/7/10
小波分析与φ-计划 2024/7/8
多项式方程与高中数学 2024/6/20
m0之谜与特异形态 2024/6/9
小波分析是高中数学 2024/5/17
注:文中"原著"是指Daubechies(1988)。
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GMT+8, 2024-10-14 00:39
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