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[按:下文是邮件笔记的内容,略修订,标题是原有的。]
“鹊巢三枝,君子三思。”
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原著的例子3.1(p.38)在第三部分第一单元(3.A.)。该单元篇幅约8页,标题是"Weaning Mallat's algorithm from its multiresolution parent",直译为“马拉算法从它的多分辨父母断奶”。你没看错,“Weaning”的直译的确是“断奶”。这样的表达似乎带有双关意味:作者的学术研究和哺育“婴儿”发生交集。在该单元的末尾,Daubechies突然拿出两个例子,然后嘎然而止;没有给出任何说明,也没有说后文要用到的话。原著如此。
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例子3.1.α(ξ) = β(ξ) = 2-1/2,对应于h(0)=2-1/2,g(0)=2-1/2,h(1)=2-1/2,g(1)=-2-1/2,其余的h(n)和g(n)均为零。
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为了看懂这个例子,需要知道α(ξ)和β(ξ)代表什么。尽管有明确的表达式,但原著通篇暗示这样的约定:设有无穷数列u(n),则总能关联2π-周期函数U(ξ)=∑nu(n)einξ。确实,原著里写着(3.A.,p.34)——
α(ξ) = ∑na(n)einξ,
β(ξ) = ∑nb(n)einξ .
然后你需要知道a(n)和b(n)代表什么(3.A.,p.34)——
a(n) = h(2n),
b(n) = h(2n+1).
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此处需要追问h是干什么的?插一句,h是h(n)的简写,两者是一回事。实际上,之前的笔记*已经有了h(n)的表达式,是用φ函数的内积定义的。可那是在原著的第二部分第三单元(2.C.),是在多分辨分析的意义下定义的(即使用φ函数),而当下是在“断奶”的上下文里说事。怎么个断法呢?大意是(3.A.,p.31)"we extract the properties of H and G that make the scheme work, without reference to multiresolution analysis."
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上面引用的句子出现在3.A.的最开头,是接着2.C.说话,而这句话里出现了H和G。在2.C.里,h(n)是已知的(φ函数的内积),并用它定义了算子H。现在(3.A.)“断奶”了嘛,φ用不了,所以h(n)是不知道的,而是看作“待定”。尽管如此,从形式上,仍然可以写出H。该H的表达式在2.C.和3.A.都是一样的(2.C.,p.28;3.C.,p.31) ——
(Ha)k = ∑nh(n-2k)an.
此表达式需要仔细理解。式子中的an表示任意的无穷序列a(理解为无穷维列向量)的第n个分量;注意不要跟之前的a(n)混淆起来,后者的简写也是a,跟此处的a不是一回事(原著里的符号滥用)。式子左边的Ha表示算子H作用于a,其第k个分量写为(Ha)k ;这样的写法不常见,或是原著作者的发明,也可能是比利时写法。总之,无穷维列向量a经过H作用得到无穷维列向量Ha,由此可以把H看作无穷维矩阵。特别地,H的第“0”行由无穷序列h(n)填充,H的第“1”行由无穷序列h(n)向右平移两列来填充,依此类推(可以有第“-1”行,等等)。(注:引用的话里也提到G,定义的时候只须把h换成g)。
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以上讲清楚了如何用h定义出算子H。要强调的是,在3.A.的设定中,h(n)是待定的,而在2.C.的设定中h(n)是由φ函数确定的。(顺带可以看出,如果无穷序列h(n)中只有少量的有限项取非零值,那么算子H就是一个稀疏矩阵。由于实际中的a是有限维向量,则H也成为有限维矩阵。这样的h(n)对应于紧支撑的φ,从而得到紧支撑的ψ。可见,紧支撑小波方便实际计算。)
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现在回到今天的主题:例子3.1的验证。验证什么呢?这是在原著第四部分第二单元(4.B.)的上下文里来说的。为此,需要写出式子(4.B.,p.68) ——
(4.13) PN(y)=∑j=0,N-1C jN-1+jyj.
原著里写道(p.68)"Example 3.1...correspond exactly to a polynomial of type (4.13), with N=1..."。可是,从上文开头给出的例子3.1,直接是看不出来的。原著里继续写道(p.68)"For Example 3.1 one has m0(ξ)=1/2 (1+eiξ),i.e., N=1, and Q(eiξ)=1, hence P(y)=1=P1(y)"。这样,就需要搞清楚例子3.1中的α(ξ), β(ξ)和m0(ξ)的关系,即如何由前者得到后者?印象中在原著的某个地方给出了m0(ξ)的表达式。在浏览寻找的过程中,惊愕地发现,原著里第一次提及m0(ξ)是在p.37,即上次笔记末尾的注释。感到惊愕是因为,截止p.37,之前压根没提到过m0(ξ)。按照该处的提法我们有(p.37):m0(ξ)=2-1/2H(ξ),其中2π-周期函数H(ξ)=∑nh(n)einξ出现在前一页(p.36)。特别地,p.36有个公式 ——
H(ξ)=α(2ξ)+eiξβ(2ξ).
试着把例子3.1中的α(ξ) = β(ξ) = 2-1/2代入上述公式,得H(ξ)=2-1/2(1+eiξ)。按照天蓝色公式,m0(ξ)= 2-1/2H(ξ) = 1/2 (1+eiξ)。按照原著的设定,m0(ξ)的一般形式是(4.B.,p.64)——
(4.8) m0(ξ)=[ 1/2 (1+eiξ) ]NQ(eiξ)
经对照可知,例子3.1对应的N=1,Q(eiξ)=1。把N=1代入(4.13),得到PN(y)=1。最后,如何验证P(y)=1?直接代入(4.9)即可验证。问题是,怎么知道P(y)=1?应该来自P和PN的关系,待考。
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回顾上述验证,可以看到另一条验证路径,即把例子3.1的h(n)代入2π-周期函数H(ξ)=∑nh(n)einξ,接着使用天蓝色公式,之后同上。上面说了一大圈,发现存在两种H。它们都是由h(n)定义,但彼此之间的关系暂不清楚,值得探究。如果仅仅是为了验证例子3.1,则无穷维矩阵H没有任何可见的用处;用到的是2π-周期函数H(ξ),它和m0(ξ)仅差个倍数2-1/2。在原著的命题3.3里也给出了m0(ξ)的定义(3.B.,p.43)——
m0(ξ)=2-1/2∑nh(n)einξ
该公式跟天蓝色公式是一回事。由于紧支撑正交小波完全地且全部地由原著刻画,因此一切紧支撑正交小波的例子,其m0(ξ)的表达式必然符合公式(4.8)。因此,验证例子的路径只不过是设法写出m0(ξ)的表达式,换句话说,只要知道h(n),然后结合红色公式与橙色公式对照即可。需要指出的是,原著并没有清楚地表述验证的路径,仅简单地给出验证的结果。
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参考资料
三角因式之谜 2024/7/18
惊奇是一种能力 2024/7/14
原著、原著、原著... 2024/7/13
φ-计划之若干摘录 2024/7/10
小波分析与φ-计划 2024/7/8
多项式方程与高中数学 2024/6/20
m0之谜与特异形态 2024/6/9
小波分析是高中数学 2024/5/17
注:文中"原著"是指Daubechies(1988)。
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