[按:下文是邮件笔记的内容,标题是原有的。]
有杕之杜,其叶湑湑。
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这几天考虑回到原著第四部分第二单元(4.B.),包含三个引理和一个命题。在5月和6月未公开的笔记中已经验证了三个引理的推导,写过一篇邮件笔记*。原著提出并证明两个组合引理之后,立刻指向两个例子,它们出现在原著的第三部分。为了看清楚两个例子,又跑到p.38和p.48。这期间关于因子(1+eiξ)做了一些摘录,来自原著第二部分,附后。
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这些摘录围绕一个谜。设有无穷序列w(n),今按偶数项和奇数项分别求和,若这两个和相等,则W(ξ)含有因式(1+eiξ),其中W(ξ)=∑nw(n)einξ。
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若孤立地看,因式(1+eiξ)显得微不足道,但在原著中起到关键作用。我让chatGPT从《诗经》中列举类似的情状,答曰“有杕之杜,其叶湑湑”。Daubechies在原著中对m0(ξ)施加条件,令其能被(1+eiξ)N整除,其中N是任意自然数。如果把m0(ξ)比作“有杕之杜”,则(1+eiξ)N对应“其叶湑湑”。还真有点像!“有杕”是“杕杕”的另一种表达,意思是“孤立生长貌”,“杜”是指“赤棠”。确实,阅读原著发现(下面最后一条注释/摘录),Meyer最早考虑了m0(ξ),彼时是孤立存在。至于最初的“叶子”何时何处出现,有待细考。
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最后,(1+eiξ)的数学意义在于,它能给φ和ψ带上“正则性”,而重复出现这个因式越多,正则性越高。
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以下是原著中的相关摘录,隔行罗列以避免“满眼花”。
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备用p.15:(2.25) ∑nw(2n) = ∑nw(2n+1).
We shall come back below to the mathematical significance of this requirement.
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备用p.19:This surprising feature is in fact due, in large part, to the special form (2.26) of the coefficients w(n), and in particular, to condition (2.25).
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备用 p.24: Because of the constraint (2.25), one finds that W(ξ) is divisible by (1 + eiξ),
W(ξ) = 1/2 (1 + eiξ) Q(ξ) = eiξ/2cosξ/2 Q(ξ).
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备用 p.37: 5. Note that ∑nh(2n) = ∑nh(2n+1), which is a consequence of (3.18)-(3.19) (see Remark 2 above) implies that all the possible H(ξ), satisfying all the above conditions, necessarily are divisible by (1+eiξ) (see subsection 2B).
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注释:去往(3.18)和(3.19)过程中,发现(p.37) “It can be found in [16], where m0(ξ) =2-1/2H(ξ) is used, rather than H.” 注:[16]即Meyer(1986)。
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参考资料
惊奇是一种能力 2024/7/14
原著、原著、原著... 2024/7/13
φ-计划之若干摘录 2024/7/10
小波分析与φ-计划 2024/7/8
多项式方程与高中数学 2024/6/20
m0之谜与特异形态 2024/6/9
小波分析是高中数学 2024/5/17
注:文中"原著"是指Daubechies(1988)。
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