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[按:下文内容来自邮件笔记,标题是原有的。]
性格和环境如何影响思维?
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这会儿有点犯难。原著第二部分共有三个单元,第二个单元看上去相当繁琐,不知道要花费多久。这几天想到,为了构造L2(R)的正交基,企图从单一的函数派生出来,这本身就是令人惊奇的事情。
回想起来,L2(R)空间在数学系本科三年级课程《实变函数》末尾有一章内容。当时是1995年,实变老师(张永平)在课堂上略提及“小波”。研究生阶段有小波分析方面的课程,没有留下太多印象。那个时候组里没有教材,自己买了几本书,但也没学出个所以然来。大约在第二学期,已经知道了三位代表人物,想着该读他们的原著,但是Mallat和Daubechies的两篇经典文章都没找到;Meyer的书是找到了,但也不知道如何入手,第一句话就看懵了。可能还有一个原因,当时已经距离创始时间十多年,出现了一些书,这使得读原著的想法显得有点怪。而且作为研究生,会受到一种奇怪的暗示。总体来说,心理层面存在一些干扰。2003年在北京时,从中国科学院情报中心拷贝了Daubechies原著的副本,但那个时候没有时间读。这些年有几次拿起这篇文章,有一次还动手编程,但始终没有找到入口。今年5月份开始读写也是出于偶然。在这期间也想过读这篇文章面临的基本问题。在某一点上,我想到“不朽”是不会过时的。回想起来,我的性格是很难撬动的。现在大致清楚了,这种性格只会对“伟大”做出响应。
实际上,为了构造L2(R)的正交基,面临的第一个问题是:如何得到无穷多个函数的表达式?在理论上,你可以设ψ1,ψ2,...,ψn,...为L2(R)的正交基。那么,对于L2(R)中的任何函数f(x)都有——
f(x)= c1ψ1(x) + c2ψ2(x) +...+ cnψn(x)+ ...=Σncnψn(x)
由于{ψn}是正交基,上式两边做内积,得到 cn = <f(x),ψn(x)>。从泛函分析的观点来看,{cn}可以看作无穷维向量空间L2(R)的元素f(x)在“直角”坐标系{ψn}上的投影(即坐标)。理论上是没有问题。可是,如果要具体写出每个ψn的表达式,势必要求ψn作为“通项”,即形式上统一的表达式。插一句,“ψn”是“ψn(x)”的缩写,两者是一回事。最简单的情形是ψn(x)有一个基本的“mode”,然后派生出所有的“mode”。最简单的派生方法是平移,即令ψn(x)=ψ0(x-n)。用列举的方式表达为:ψ0(x),ψ0(x-1),...,ψ0(x-n),...。令人惊奇的是,小波理论确认,这样真的可以得到正交的无穷序列,它们构成L2(R)的某个子空间的正交基。恰好,该子空间关联着自变量x的倍数,也就是尺度因子。一句话,构造L2(R)的正交基所面临的可能的最简单的途径竟然真的走通了,而在没走通之前是不知道的和不确定的。
在我看来,学习原著要站到创立者的视角看问题,而不是从“念书”或“教书”的角度行事。从这个意义上讲,抛开原著而跑去念教材不仅多费手续,而且极为可笑。
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参考资料
原著、原著、原著... 2024/7/13
φ-计划之若干摘录 2024/7/10
小波分析与φ-计划 2024/7/8
多项式方程与高中数学 2024/6/20
m0之谜与特异形态 2024/6/9
小波分析是高中数学 2024/5/17
注:文中"原著"是指Daubechies(1988)。
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