[按：下文内容来自邮件笔记，标题是原有的。]

性格和环境如何影响思维？

* * *

这会儿有点犯难。原著第二部分共有三个单元，第二个单元看上去相当繁琐，不知道要花费多久。这几天想到，为了构造L²(R)的正交基，企图从单一的函数派生出来，这本身就是令人惊奇的事情。

  回想起来，L²(R)空间在数学系本科三年级课程《实变函数》末尾有一章内容。当时是1995年，实变老师(张永平)在课堂上略提及“小波”。研究生阶段有小波分析方面的课程，没有留下太多印象。那个时候组里没有教材，自己买了几本书，但也没学出个所以然来。大约在第二学期，已经知道了三位代表人物，想着该读他们的原著，但是Mallat和Daubechies的两篇经典文章都没找到；Meyer的书是找到了，但也不知道如何入手，第一句话就看懵了。可能还有一个原因，当时已经距离创始时间十多年，出现了一些书，这使得读原著的想法显得有点怪。而且作为研究生，会受到一种奇怪的暗示。总体来说，心理层面存在一些干扰。2003年在北京时，从中国科学院情报中心拷贝了Daubechies原著的副本，但那个时候没有时间读。这些年有几次拿起这篇文章，有一次还动手编程，但始终没有找到入口。今年5月份开始读写也是出于偶然。在这期间也想过读这篇文章面临的基本问题。在某一点上，我想到“不朽”是不会过时的。回想起来，我的性格是很难撬动的。现在大致清楚了，这种性格只会对“伟大”做出响应。

  实际上，为了构造L²(R)的正交基，面临的第一个问题是：如何得到无穷多个函数的表达式？在理论上，你可以设ψ₁,ψ₂,...,ψ_n,...为L²(R)的正交基。那么，对于L²(R)中的任何函数f(x)都有——

f(x)= c₁ψ₁(x) + c₂ψ₂(x) +...+ c_nψ_n(x)+ ...=Σ_nc_nψ_n(x)

由于{ψ_n}是正交基，上式两边做内积，得到 c_n = <f(x),ψ_n(x)>。从泛函分析的观点来看，{c_n}可以看作无穷维向量空间L²(R)的元素f(x)在“直角”坐标系{ψ_n}上的投影(即坐标)。理论上是没有问题。可是，如果要具体写出每个ψ_n的表达式，势必要求ψ_n作为“通项”，即形式上统一的表达式。插一句，“ψ_n”是“ψ_n(x)”的缩写，两者是一回事。最简单的情形是ψ_n(x)有一个基本的“mode”，然后派生出所有的“mode”。最简单的派生方法是平移，即令ψ_n(x)=ψ₀(x-n)。用列举的方式表达为：ψ₀(x),ψ₀(x-1),...,ψ₀(x-n),...。令人惊奇的是，小波理论确认，这样真的可以得到正交的无穷序列，它们构成L²(R)的某个子空间的正交基。恰好，该子空间关联着自变量x的倍数，也就是尺度因子。一句话，构造L²(R)的正交基所面临的可能的最简单的途径竟然真的走通了，而在没走通之前是不知道的和不确定的。

  在我看来，学习原著要站到创立者的视角看问题，而不是从“念书”或“教书”的角度行事。从这个意义上讲，抛开原著而跑去念教材不仅多费手续，而且极为可笑。

* * *

参考资料

原著、原著、原著... 2024/7/13

φ-计划之若干摘录 2024/7/10

小波分析与φ-计划 2024/7/8

多项式方程与高中数学 2024/6/20

m0之谜与特异形态 2024/6/9

小波分析是高中数学 2024/5/17

注：文中"原著"是指Daubechies(1988)。