[按:下文是邮件笔记的内容,略有修订,原标题"ψ是怎么来的?"。]
前段时间从第四部分开始学习,逐步往前回溯...
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备忘:p.27, (2.47) 后附的 “h(n) = 2-1/2∫dxφ(x/2)φ(x – n).”
备忘:p.27, (2.48) 后附的 “g(n) = 2-1/2∫dxψ(x/2)φ(x – n).”
问题:ψ是怎么来的?
原著的大意是:绕开多分辨分析,直接拿出 Mallat 算法工作的条件( h 和 g 满足的条件),并机缘巧合地刻画出全套的紧支撑正交小波。第四部分是主创 (原著的真正入口),第三部分是绕开多分辨分析 (含主定理),第二部分是多分辨分析的综述。在回溯到第三部分时,忽然想知道 h 和 g 的来源,于是在 p.27页找到两个式子,如上 (粘贴自笔记)。
回答问题 —— ψ是由φ定义出来的,而φ 是多分辨分析自带的函数。
"多分辨分析" 被视作小波分析"数学化"的标志,简单讲,就是将小波分析浓缩为 —— 集合与映射。从名称上来说,"多分辨分析" 会给人造成一种误解,让人以为是一套理论,而实际上只是一个定义而已,作为小波分析的理论起点。此定义是 “事后” 归纳出来的,而不是一开始就有的。好比 “拓扑”、“流形”、“概率”、“群”、“同态”等,这些都是事后归纳出来的,从集合与/或映射的角度加以定义,从而明确地规定这些数学概念。
多分辨分析的定义由 L^2 空间及有关映射的若干条目组成。L^2 空间嘛,无非是平方可积函数的集合。正如每个数学定义都有自己的特色,多分辨分析的特色之一是考虑一串嵌套的子空间(p.7):
...⊂ V2 ⊂V1 ⊂ V0 ⊂ V-1 ⊂ V-2 ⊂...
其中,各个子空间V的下标代表尺度指标,数值越大尺度越粗。标准的尺度基数是2,这样用 2k表示尺度,k 对应 V 的下标。定义的第二个条目,是关于这个子空间序列的交集和并集:
∩Vi = {0}, ∪Vi = L^2
对于无穷多个集合,考虑它们的交集和并集是自然的;特别地,它们交集和并集都是唯一的,分别是 {0} 和全集 L^2,体现出某种 “规范性”。定义的第三个条目,是关于 Vi 中的一般元素 f:
f ∈ Vi <=> f(2·) ∈ Vi-1
这是用元素 f 的归属关系刻画尺度相邻的子空间;给 f 的自变量乘以2,就进入了更细一级的尺度空间。定义的第四个条目,是关于一个特殊元素,要求:
存在φ∈V0,使得 { φmn } 构成 Vm 的基
并且满足 Riesz 有界条件 (略)。此时就称 {Vi} 和 φ 构成 L^2 的多分辨分析。(受到代数几何的启发,我倾向于称 {Vi} 和 φ 构成 L^2 的多尺度计划或者“φ-计划”)。
上面的 φmn 是函数 φmn(x)的简写,是由 φ 派生出来的,即 φmn(x) = 2-m/2φ(2-mx - n)。m 和 n 取自整数集合,但多数时候考虑固定的 m,而让 n 遍历整数集合。比如,取 m = 0,则有 φ0n(x) = φ(x - n),按定义第四条 { φ0n(x) } 构成 V0 的基。换句话说,拿 φ(x) 做个整数平移就能得到 V0的基,体现出 “大道至简” 的思想方法。以下假定 { φ0n(x) } 构成 V0 的正交基,按照原著 p.8 (2.5) 这总是能办到的。
回到开头。早先回答问题 —— ψ是由φ定义出来的,而φ 是多分辨分析自带的函数。这就引出另一个问题: ψ是如何由φ定义出来的?定义如下(p.11) ——
Ψ(x) = ∑n(-1)n cn+1φ(2x + n).
式子中的 cn+1 不是任意取的,而是来自 V0 和 V-1的关系:V0 ⊂ V-1。具体来说,对于 φ∈V0,按定义第三条有φ(2·)∈V-1。而由定义第四条,{ φ(2x - n) } 构成 V-1的基。特别地, φ∈ V0 ⊂ V-1,于是 φ 可由 { φ(2x - n) } 线性表示(p.11)——
φ(x) = ∑n cnφ(2x - n).
式子中的 cn 拿来定义ψ,只不过 cn+1 往右偏移了1个位置。由此可见,构造小波函数归结为构造多分辨分析 {Vi} 和 φ。特别地,按照[16][19]的理论,ψ0n 构成 W0的正交基,而ψmn 构成 Wm 的正交基。小波分析的要义是要构造 L^2 空间的正交基,并要求由某个函数 ψ 的平移和伸缩得到,而 { ψmn(x) } 就是这样的正交基,此处 m 和 n 都不固定,而是遍历整数集合。
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参考资料
多项式方程与高中数学 2024/6/20
m0之谜与特异形态 2024/6/9
小波分析是高中数学 2024/5/17
注:文中"原著"是指Daubechies(1988)。
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