Theorem 1.7. There is natural equivalence of categories, called the tilting equivalence, between the category of perfectoid K -algebras and the category of perfectoid Kᵇ -algebras. Here a perfectoid K -algebra R is sent to the perfectoid Kᵇ -algebra Rᵇ = lim<R (x ↦x^p).
---- 在完域K-代数类和完域Kᵇ-代数类之间存在自然的倾斜等价. 这里完域K-代数 R 被发送到完域Kᵇ-代数 Rᵇ=lim<R (x ↦x^p).
---- category 的正式中译大概是“范畴”,这里简译为“类”. tilting 简译为 “倾斜”.
---- 若完域K-代数记作 R(K),则完域Kᵇ-代数该记作 R(Kᵇ).
---- 简单起见,R(K) 略作 R,而R(Kᵇ) 略作 Rᵇ.
---- 仿此,若 完域K-代数类 记作 C(R), 则 完域Kᵇ-代数类 可记作C(Rᵇ). 两者可分别略作 C 和 Cᵇ.
评论:简略地,1). C ≌ Cᵇ. 2). Rᵇ=lim<R (x ↦x^p).
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We note in particular that for perfectoid K -algebras R, we still have a map Rᵇ --> R, f ↦f#.
---- 对于完域K-代数,仍有映射 Rᵇ --> R, f ↦f#.
---- 映射表达为: 集合 --> 集合, 元素 ↦元素.
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An example of a perfectoid K -algebra is the algebra R = K<T^δ> for which Rᵒ = Kᵒ<T^δ> is the p-adic completion of K[T^δ].
---- 完域K-代数的例子如:代数 R = K<T^δ> , 它的 Rᵒ = Kᵒ<T^δ> 是 K[T^δ] 的 p-adic 补.
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This is the completion of an algebra that appears on the right-hand side of Theorem 1.5.
---- 这是出现在Th1.5右端的代数的补.
---- 即 R = K<T^δ> 是 lim<|(A¹K)ᵃᵈ| (T↦Tᵖ) 的补.(?)
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Its tilt is given by Rᵇ = Kᵇ<T^δ>, which is the completed perfection of an algebra that appears on the left-hand side of Theorem 1.5.
---- 上述例子的倾斜由 Rᵇ = Kᵇ<T^δ> 给出,它是出现在Th1.5左端的代数的完全完美化.
---- 即 Rᵇ = Kᵇ<T^δ> 是 |(A¹Kᵇ )ᵃᵈ| 的完全完美化.(?)
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小结:1. Th1.7的内容: 1). C ≌ Cᵇ. 2). Rᵇ=lim<R (x ↦x^p).
2. Th1.7的注记: 1). 存在映射 Rᵇ --> R, f ↦f#.
2).. 例子 R = K<T^δ> ~ Rᵒ = Kᵒ<T^δ> ~ K[T^δ] 的 p-adic 补.
3)........Rᵇ = Kᵇ<T^δ>.
符号大全、上下标.|| 常用:↑↓→←↦∞π ΓΔΛΘΩμφΣ∈∉∪∩⊆⊇⊂⊃≤≥⌊ ⌋ ⌈ ⌉≠ᵒ⁻⁰¹²³ᵈ ₀₁₂₃ᵢ