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本期开始改变画风,搭载数学类学院等有用链接。
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Let Rs:= Bs^+ - Bs...
---- Step3确认了Bs^+ 的存在性。
---- 现在希望找出Rs的构造,从而得到Bs^+的构造。
---- Rs 的下标 s 是连体(第一次出现且单独出现)。
---- Rs 或 Step 8 的 R 赋予汉字标签 “仁”。
(Step8的最后,Rs的下标实现分离,即Rs=R|s)。
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评论:Bs^+ 的意思是,它比 Bs 多出点东西。
---- 假设多出来的是什么构造不知道,给个记号Rs。
(定理的结论里有具体构造,但这里要推导出来)
---- Bs 的下标s是分离状态,即:Bs = B|s。
---- 但Bs^+ 的下标 s 是 连体 状态。
(早前误认为是分离状态)
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...which satisfies -n(Ks + Bs) ~ nRs ≥ 0.
---- 这是从n-complement 的定义*,经过简单运算得到的(参见Step7)。
---- 忽然想到,给对象乘以n,这是一种方法!
---- 给这种方法一个名称 “乐”。
---- 上面的 Ks 和 Bs,下标s都是分离的(参Step3)。
---- 这就暗示,符号“~”右边的Rs,其下标也“该”分离。
(Step8的任务是分离Rs的下标)
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Letting Rs' be the pullback of Rs, we get
nN'|s' = (nM' - n(Kx' + B'))|s' ~ -n(Kx' + B')|s'
= -nψ*(Ks + Bs) ~ nRs' ≥ 0.
---- 前半句的是说 Rs' 是 Rs 的带撇版。
(不用管 “pullback” 的意思)
---- Rs' 的下标 s' 是连体 (即 R和s'看做整体)。
(严格来说,主字母和下标都该带撇:简省写法)
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评论:第一个等号左边体现了两个方法:
---- 给对象乘以n,这是“乐(yue)”法(参前段)。
---- 将对象限制在s'上,这是“罩”法(参Step3)。
---- 这里的对象 N' 是“参”的带撇版。
(“参”就是 “M - (Kx + B)”,贯穿整个证明)。
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评论:第一个等号右边系作用后果(简单运算)。
---- “罩”的作用是通过等价关系“~”体现的。
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评论:第二个等号也是简单运算。
---- -nψ*(Ks + Bs) 是说,它是 -n(Ks + Bs)的带撇版。
---- 它等价于 nRs 的带撇版(参见第三段)。
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以上推导的结果:nN'|s' ~ nRs' ≥ 0.
---- 至此,Step7的“前戏”做完了(只是准备工作)。
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Then
(L' + P')|s' = (nΔ' - \(n+1)/Δ' + nN' + M' + P')|s'
~ Gs':= nΔs' -\(n+1)Δs'/ + nRs' + Ps'
where Δs' = Δ'|s' and Ps'=P'|s'.
---- 第一个等式,只是把 L' + P' 限制到S'上。
(这是Step7的“主运算”)。
---- 第二个式子,只是用 nRs' 等价地替换掉 nN'|s。
---- 注意,M' 消去了(M'|s' ~ 0)。
---- 第二个式子整个地定义成一个对象 Gs',有深意,也是Step7的“输出”。
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评论:将某个式子或对象限制到 S 或 S' 上,目的是过滤掉 M 或 M'。
---- 这种效用源于定理的条件(体现为硬性规定)。
---- 希望看到自然地发生这类效用。
---- 比如,找一类 M 和 S,使得 M|S ~ 0。
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加评:Δs' 和 Ps' 的下标 s' 都是分离状态(第一次出现时伴随着说明,见 “where...” 其中的等式是定义的性质)。
---- 但 Gs' 的下标 s' 暂时是连体状态。
(下方会“推导出”分离状态)。
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以上推导的结果:(L'+P')|s' ~ Gs'.
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接着,原作证明了 Gs' 非负。
---- 反证法结合系数分析法(参 Step7)。
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... by Step 6, L' + P' ~ G' for some effective divisor G' whose support does not contain S' and G'|s' =Gs'.
此句包含两个结果:
---- 1. G' 的存在性。(理由不详)。
---- 2. “推导出” Gs' 的下标 s' 为分离状态。
2a) 承认 L'+P' ~ G' 的前提下,自然有:(L' + P')|s' ~ G'|s'.
2b) 另一方面,(L' + P')|s' ~ Gs'.
2c) 对照 2a)和 2b),有:G'|s' = Gs'.
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评论:L' + P' ~ G' 可从 Step 6 得到,但原作放到Step 7 的最后一句说这个事情,轻描淡写。
---- 这种情况该是特意安排。
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小结:Step 7 概括为“策”(涉及 “乐” 和 “罩” 两个方法,以及“参”和“局”两个已有对象,和新定义的对象 “仁”)。
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最近感到, “~” 和 “divisor” 是基本概念,而且非常有用。待学习。
Leonhard Euler Carl Friedrich Gauss Grothendieck
Glossary (AG)
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第一轮读写链接(按目录顺序)
Abstract 8/4
Introduction
Boundedness of singular Fano varieties (1) 8/5
Boundedness of singular Fano varieties (2) 8/6
Boundedness of singular Fano varieties (3) 8/7
Boundedness of singular Fano varieties (4) 8/8
Boundedness of singular Fano varieties (5) 8/9
Boundedness of singular Fano varieties (6) 8/9
Jordan property of Cremona groups 8/10
Lc thresholds of lR-linear systems 8/11
Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs (1) 8/12
Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs (2) 8/13
Lc thresholds of R-linear systems with bounded degree 8/14
Complements near a divisor 8/15
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