三、杨—米尔斯规范场引进协变导数的物理实质

1、整体规范变换[5]

对ψ、ψ-和∂μψ做整体规范变换，α＝常数，∂μ α＝0，有

ψ→ψ′＝exp(-iα)ψ                        

     ψ- →ψ-′＝ψ- exp(iα )                                                 (8) 

∂μψ→∂μψ′＝exp(-iα)∂μψ

ψ、ψ-、∂μψ按相同规律变换，规范不变性成立。构造自由场的拉格朗日密度，

代入拉格朗日方程，即可得到洛伦兹协变形式的狄拉克方程

(irμ∂μ－m)ψ＝0                              (9)

杨—米尔斯规范场中，ψ作概率解释，波函数ψ泛化为纯数学函数，没有实在论意义，波函数相位因子的物理意义被忽视。整体规范变换只能看到数学对称美，而物理意义不明确。

量子力学曲率解释中，波函数ψ不是纯数学函数，描述粒子波动存在形态，其相位包含粒子速度信息，有明确的物理意义。∂μα＝0，即为∂μv＝0，粒子作匀速运动，有流和荷的守恒。建在粒子上的坐标系K′时空均匀、平直，保证了量子伴生空间的均匀、平直性；带电自由粒子受力状况不变，运动状态不变，ψ具有洛伦兹协变性。整体规范变换既有数学美，更有数学美的物理学基础。

2、局域规范变换[6]

式（8）中，若α＝α（x），即所转相角是时空坐标 的函数。对带电自由粒子的场量及其导数做局域规范变换：

                ψ→ψ′＝exp[-iα（x）]ψ                                  (a)  

              ψ- →ψ-′＝exp[iα（x）]ψ-                               (b)

∂μψ→∂μψ′＝∂μ {exp[-iα（x）]ψ}                                           (10)

＝exp[-iα（x）]∂μψ－i∂μ α(x) exp[-iα（x）]ψ   （c）

≠exp[-iα（x）]∂μψ                     

场量与场量导数的变换不一致。用式（10）构造拉格朗日密度，代入拉格朗日方程，不能保证拉格朗日方程和狄拉克方程的形式不变。传统分析认为，原因在于式（c）增加了∂μα（x）≠0项，导致场量和场量导数的变换规律不一样，破坏了拉格朗日密度的规范不变性，因而不能得到洛仑兹协变形式的狄拉克方程。但通过协变导数引进规范场，体现粒子与场的相互作用，就可恢复局域规范变换规范不变性。引进协变导数

∂μ→Dμ＝∂μ－ieAμ                         (11)

式中Aμ即为引进的规范场。Aμ是电磁场的矢势，粒子受的是电磁力，矢势Aμ必须赋予相应物理意义。引入协变导数后再构造拉格朗日密度，并将总拉格朗日密度代入拉格朗日方程，即可得到形式不变的场方程：

(irμDμ－m)ψ＝0                         (12)

从局域规范变换我们再次看到了数学的神通和对称美。

然而，在数学对称美背后，我们必竟要问：如果局域规范变换中，粒子与场的相互作用是在“通过引进规范场”时才发生的，那么当自由粒子整体规范变换过渡到局域规范变换时，引进的规范场正好是改变粒子受力状况和自由运动状态的原因，规范场成了破坏规范不变性的祸首。数学美与物理美不协调。“引进规范场”保证规范不变性，只能是空间的、数学形式的、表面的对称美。显然，引进规范场消除∂μα（x）≠0项，背后应有更深层的物理原因。相角α＝α（x）是一个纯数学函数而没有物理意义就值得思考。

量子力学曲率解释做了完美的科学回答。根据我们的分析，若∂μα（x）＝0，则有∂μ v(x)＝aμ＝0，带电粒子做匀速运动，式（10）中（c）式第二项消失，这就是带电自由粒子整体规范变换。可见α＝α（x）时，规范不变性的破坏完全是由于∂μα（x）＝∂μv(x)＝aμ ≠0 ，带电粒子己置于电磁场中，受力状况、运动状态均发生了变化，坐标系K′及“量子伴生空间”的空间均匀、平直性遭到破坏造成的。∂μα（x）≠0空间梯度的存在，正是量子伴生空间的空间均匀、平直性遭到破坏的数学表述。通过协变导数引进规范场，消除原场力，恢复粒子自由运动状态，即可消除这一空间梯度，实现规范不变性。空间对称性的破坏与恢复背后有了物理解释。

物理系统的对称性及拉格朗日密度不变性预示对应守恒流jiμ和守恒荷Qi所揭示的的物理本质：流和荷的守恒刚好对应载荷粒子匀速运动，对应坐标系K′及“量子伴生空间”的空间均匀、平直性；局域规范变换时规范不变性的破坏，意味着流、荷守恒的破坏，即粒子匀速运动状态的破坏，正好对应坐标系K′及“量子伴生空间”的空间均匀、平直性的破坏。这是带电自由粒子整体规范变换过渡到局域规范变换的物理实质。显然,规范场的引入，尽管体现了带电粒子与电磁场的作用，但那是一种抵消作用，使总作用力为零，保证坐标系K′及“量子伴生空间”的空间均匀、平直性，恢复规范不变性。过去人们对这一物理机制似乎认识不足。