三、公开冲突
1. 争端爆发
此时，英国不少学者的心态与之前的瓦利斯相似，极为看重宣扬本国的成就，而反感来自国外的批评和贬低。牛津大学的苏格兰青年学者凯尔（John Keill，1671-1721）读到了这一攻击牛顿的匿名评论后把此事告诉了牛顿，后者当然非常生气。凯尔出面替牛顿反击，他的文风直接、粗鲁，因此后来被伯努利称为牛顿的猩猩。在皇家学会期刊发表的一篇论文中，他写道，牛顿无疑是流数法的第一发明人，而同样的方法后来被莱布尼兹发表，只不过把名词和记号改了一下。这虽然不是直接指控莱布尼兹剽窃，但意思也差不多。
读到这一文章的莱布尼兹当然非常生气，鉴于他自己也是皇家学会会员，于是他于1711年2月致信学会秘书长、医生和博物学家斯隆（Hans Sloane, 1660-1753），要求学会主持公道，命令凯尔撤回其言论。在信中，莱布尼兹再次声称“牛顿比任何人都清楚这样的攻击是不实的，因为我以前并未听说过流数法”。凯尔来伦敦参加了皇家学会的会议为自己辩护，指出自己并非主动挑衅，而是看到1705年《学者学报》上对牛顿的攻击后才决定回击的。他认为，当年（1676年）莱布尼兹正是在看到了牛顿给他的两封信件中“明显的提示”后，受到启发，才发明微积分的，参会的英国学者们站在他这一边，会议决议不仅没有要求凯尔撤回他的说法，还让他答复莱布尼兹。凯尔的答复毫不客气，说莱布尼兹自己已经有很多无可争辩的发现了，就不要再偷别人的了。可以想象莱布尼兹看到这封措辞粗鲁的回信时的震惊和愤怒—籍籍无名的小字辈凯尔，竟敢这样答复身为世界顶级学者的自己。他于1711年12月29日再次致信皇家学会，要求他们主持公道。
有点奇怪的是，莱布尼兹似乎没有想到自己这个“外籍会员”并未被英国人视为自己人，更奇怪的是，他竟然觉得牛顿会支持他要求凯尔撤回其言论的要求。或许，他觉得自己优势在握（首先公开出版了微积分）却并未对牛顿的微积分发明权提出公开的质疑，所以牛顿理应感谢自己。另外，牛顿本人此前一直没有就此发表公开的评论，包括之前法西奥攻击莱布尼兹时也是如此，《原理》中的那段话似乎也承认莱布尼兹独立地发明了微积分，这些可能都使莱布尼兹认为牛顿不会与他撕破脸。
图13. 牛顿晚年画像（1712）
但是，牛顿早就后悔自己当年没有及时将流数法发表出来，他也开始怀疑莱布尼兹是否真是受了自己信件的启发才发明微积分的。在凯尔给他看了1705年对《光学》的匿名评论，以及几篇对他作品的不友好评论后，他认定这些都是莱布尼兹所写（确实是），这使牛顿非常愤慨。既然莱布尼兹要求皇家学会处理此事，技术上这是两位会员莱布尼兹和凯尔的争论，于是作为皇家学会会长的牛顿决定让皇家学会成立一个调查委员会对此进行调查。
2. 调查委员会
这个调查委员会不够公正是牛顿被后世诟病的主要一点。这一委员会确实并不公正，不过有些后世的批评似乎也过于理想化了。比如，委员会共有11人，被批评几乎都是牛顿的朋友如哈雷等人，唯一的例外可能是普鲁士驻伦敦代表博涅（Bonet）先生。要做到完全公正，也许应该特意邀请一些是莱布尼兹朋友的外籍会员或外籍著名学者，但他们不在英国，因此这可能根本没在考虑范围内。其实，莱布尼兹在皇家学会内也有朋友，如天文学家弗拉姆斯替德(John Flamsteed, 1646-1719)和博物学家伍德沃德(John Woodward, 1665-1728)，不过这二人正是因为与牛顿有矛盾才与莱布尼兹交好的，而且即便是他们也未敢在学会内公开出头支持外国人莱布尼兹，而只是偷偷给莱布尼兹写信。另外，莱布尼兹后来抱怨这个委员会根本就没有通知他提交自己的观点和证据，不过由于莱布尼兹身居国外，在当时的情况下要真的请双方“出庭”作证和辩论可能也并不现实。实际上，该委员会根本没考虑质询证人，而是根据已掌握的现成证据完成了调查报告。牛顿可能正是因为觉得证据在手，才决定成立委员会的。
这份现成的证据来自皇家学会会员琼斯(William Jones，1675-1749)，对牛顿来说可谓天赐之助。琼斯曾在海军服役，退役后担任贵族的家庭教师，写过航海导航专著和数学教科书，他对后世的主要影响是首先用希腊字母p表示圆周率。机缘巧合的是，1708年，琼斯偶然得到了二十五年前去世的柯林斯的藏书和文件，里面有当初柯林斯与牛顿和莱布尼兹的通信。要是没有这些通信，牛顿很难拿出什么有力的证据来证明自己的优先权。后世历史学家或许可以研究牛顿手稿并分析其写成的时间，但在当时牛顿却难以用自己未发表的手稿作为证据。牛顿1676年通过奥登堡转发给莱布尼兹的两封信中虽有关于流数法的字谜，但内容太少，不足以充分说明牛顿早年得到的成果，而柯林斯通信档案中的《分析》则有微积分内容的比较完整的阐述，证明了牛顿至少在1669年之前就已发明了微积分方法。在莱布尼兹来信之前，琼斯已征得牛顿同意将《分析》出版。或许，正是因为有这些证据在手，牛顿此时才开始就微积分发明权问题发声。
即便有这些材料在手，对于委员会委员来说，要靠自己阅读和理清其中的关系也需要很多工夫，更不用说有些委员恐怕是读不懂其中复杂的数学论述的。但是，委员会成立仅仅6星期后就完成了长篇报告，实际上那是并非委员会成员的牛顿替他们撰写的。报告题为《约翰∙柯林斯先生与其他人关于分析学进展的通讯》(Commercium Epistolicum D. Johannis Collins et Aliorum de Analysi Promota, 简称《通讯》)，主要内容是按时间先后排列的柯林斯与牛顿和莱布尼兹的通信，或其中与微积分有关内容的摘录，牛顿1669年寄给柯林斯并被柯林斯抄录的《分析》排在最前面，以证明牛顿的发明远远早于莱布尼兹。报告的结论是，牛顿才是微积分的第一发明者，所以凯尔的观点符合事实，无需撤回。
其实，莱布尼兹在他的信中本来就并未质疑牛顿发明微积分，而是针对凯尔影射他剽窃牛顿的抗议，但这份决议把这两件事混为一谈，主要从历史证据的角度肯定了牛顿早在1660年代就发明了微积分，而同时其中给出的一些证据（比如当年莱布尼兹因在波义耳处受到质疑而给奥登堡写的自辨信），则让人觉得莱布尼兹确有剽窃的嫌疑。虽然并未明确指斥他剽窃，但把莱布尼兹罩在“嫌疑”的阴影下，莱布尼兹被迫自证清白。
图14. 《通讯》
在这份报告中，牛顿写道，“一个人不能做自己的证人”（这是针对莱布尼兹的一些说法的），这句话经常被后世的历史学家嘲讽，因为恰恰是牛顿自己撰写了这份关于牛顿-莱布尼兹之争的调查报告，而牛顿丝毫没觉得有什么不妥。不过，牛顿可能确实不认为自己有何不妥，因为在牛顿看来，本案中的证据是那些柯林斯通信中的白纸黑字，因此牛顿不认为自己给自己做证了。当然，牛顿给出了关于这些证据的解释，但这毕竟不是证据本身，而只是帮助委员们以更短的时间更容易地理解相关的历史。虽然报告的实际撰写者是牛顿，不过既然报告经过全体委员会成员同意，从程序上说也就代表了委员会的意见。1712年4月24日，这个报告又在皇家学会的会议上宣读和展示，并邀请所有在场的人检视其提供的作为证据的原始文件（后来皇家学会又多次举办活动展示了这些证据，包括向各国大使展示）。在场的人又一致通过了该报告，并授权由皇家学会出版，在1713年寄赠给欧洲的主要数学家们。他们也给莱布尼茨的汉诺威地址寄了一份，但此时莱布尼兹身在维也纳。后来，莱布尼兹还是从伯努利那里得到了相关信息。这份报告发表后，牛顿的愤怒心情还并未平复，1715年，牛顿又撰写了一份关于这一报告的详细介绍（未署名）发表在皇家学会期刊上，详细说明了这些信件所证明的微积分发明和交流史。
这份报告不啻为给莱布尼兹的一记耳光，严重影响了其声望，莱布尼兹为自己之前暗中攻击牛顿付出了沉重的代价。莱布尼兹抱怨该委员会不公，根本未允许他提供证据或答辩就做出了判决，应该说他的抱怨确实是对的。但是，假定可以，他又能提供什么证据呢？他的好友约翰・伯努利说，如果能发现牛顿一方对原始的文件动过手脚、做过修改，那将是最好的证据。但遗憾的是，并未发现这样的例子。
实际上，莱布尼兹曾想找到这样的证据。1715年，莱布尼兹写信给正在试图调解他和牛顿争端的一位学者康蒂(Conti)神父，说《通讯》中给出的文件只摘录了对牛顿有利的内容，而省略了一些可能对牛顿不利的内容。比如，他记得1676年访问伦敦时曾在柯林斯那里读到一份文件，其中牛顿自己承认，他未能解决某些问题，而现在的《通讯》里就没有这段话。但是，闻此后牛顿打开《通讯》，在里面找到了那一段话，证明自己对原始文件并未做任何改动。不仅如此，牛顿还意识到，莱布尼兹所举的例子恰恰证明他当年不仅收到过自己的两封信，而且还在柯林斯处读到过《分析》。本来，柯林斯死后，没有人知道莱布尼兹到底读过哪些柯林斯收藏的文献，莱布尼兹本人也一直坚持说他当年在柯林斯处读到的牛顿的文章里并没有微积分的详细阐述。但是，莱布尼兹凭记忆举出的例子，恰好是《分析》中的内容，而莱布尼兹抱怨《通讯》中没有这些内容，恰恰说明他并非从现在出版的《通讯》中看到这些内容，而是他当初就读过《分析》并留下了印象。这样他所谓“当时不了解牛顿已发明微积分”的说法显然无法成立，莱布尼兹搬起石头砸了自己的脚。同时，牛顿也越加相信莱布尼兹是剽窃了自己。
3. 莱布尼兹和约翰・伯努利的反击
莱布尼兹难以在历史文献上与牛顿相争。他有比牛顿多得多的通信，但争论爆发之时，莱布尼兹身在维也纳，而他的信件留在汉诺威。后来他虽然回到汉诺威，但痛风等疾病缠身，卧床不起，几十年的通信堆积如山，要从中找到对自己有用的信件并非易事，总之他手上并没有像牛顿的柯林斯通信那样能证明他在读到牛顿的信函和《分析》之前就独立发明微积分的材料。
莱布尼兹和约翰・伯努利于是另辟战场，他们攻击牛顿其实并不真懂微积分—牛顿也许提出了流数的概念，但是他们主张牛顿不掌握其中比较复杂和精深的内容；另一方面，莱布尼兹本来从哲学角度就对牛顿万有引力理论持有不同看法，所以他们要从哲学上质疑牛顿《原理》中的理论，以动摇牛顿的声望。
1713年7月底，一份没有任何作者和出版者信息的传单(Charta volans)开始在欧洲大陆传播。这份传单引用一位“主要数学家”的话说，在莱布尼兹出版他的发明之前，牛顿并没有掌握微积分方法，而只掌握了一些无穷级数方法。这位“主要数学家”又引用了一位“杰出数学家”的话说，牛顿的《原理》中有关于二阶导数的错误。这份传单是莱布尼兹所做，“主要数学家”的意见来自约翰・伯努利，他一方面为莱布尼兹提供这些攻击牛顿的炮弹，一方面又假惺惺地向牛顿一方表示自己是中立的。但是，莱布尼兹对他这种明哲保身的态度并不满意，因此在后来的一些信件中故意透露了一些信息使人猜到这观点是来自伯努利。让莱布尼兹不爽的是，虽然他的朋友和弟子如伯努利、沃尔夫(Christian Wolf)、洛必达等人同情他，但他们不肯公开站出来支持他，而凯尔等英国数学家们虽然学术地位远不如伯努利，却出面替牛顿冲锋陷阵，为他说出他自己不便说的话。身为有名的年长学者，下场与凯尔这样的无名小辈对战实在有损身份，莱布尼兹只好采用匿名发表评论的办法，但几乎所有人都能看出这些评论文章是他写的，反而更让他丢脸。
4. 《原理》错误和又一次挑战
约翰・伯努利始终不怎么佩服牛顿，即使在关于最速降线的挑战之后也是如此。他在《原理》第一版第二卷的命题10（这是一个关于物体在有重力和流体阻力作用下运动的问题）中发现了错误，与求二阶导数有关，于是他认定这是牛顿对高阶导数理解有误的证据。他从内线消息听说牛顿的《原理》即将出第二版，就准备在其出版后立即发文羞辱牛顿。
但是，有两件意外破坏了他的计划。首先是，牛顿《原理》第二版的出版因种种原因延迟了，这导致他这批评文章已在期刊上登出来了，但《原理》第二版还没有出版。其次，他的侄子尼古拉・伯努利访问了英国，见到牛顿并向他指出了这一命题有错误（尼古拉对牛顿并无敌意）。牛顿核算一番后发现确实有误，就在第二版中进行了修改，这使约翰・伯努利的批评落了空。一开始，牛顿还以为伯努利是善意的提醒，因此还安排选举约翰・伯努利为皇家学会外籍会员，不过后来牛顿读到约翰・伯努利的文章后，就明白是怎么回事了。
图15. 《原理》第二卷第10命题，第一版（左）和第二版（右）插图，取自《Never at Rest》
约翰・伯努利还建议再次出题挑战，莱布尼兹于是又向英国数学家们提出了一道挑战问题。这次挑战时，牛顿已七十多岁，脑力已无法与壮年时相比。但是这一挑战又闹了乌龙，原来莱布尼兹出题的表述模糊，让许多人理解为是找其中一个特解而非更难的通解，结果包括牛顿在内的众多英国数学家都轻松地按这一理解完成了挑战。
5. 哲学辩论
最后，莱布尼兹对牛顿的哲学发起了攻击。莱布尼兹是在笛卡尔的影响下成长起来的，笛卡尔认为即使没有空气的空间中也充斥着以太，它们的漩涡带动行星围绕太阳转动，这就是所谓机械哲学。牛顿本来也是从阅读笛卡尔开始学习的，但后来却放弃了笛卡尔理论，并在《原理》中论证漩涡并不能解释行星运动。牛顿认为空间是一种真空，影响物体运动的是万有引力。牛顿的万有引力是一种超距作用，任何两个物体，不管相距多远，可以直接相互影响，这在莱布尼兹看来是不可思议的。牛顿曾说空间是上帝感知物体的器官，这种说法也遭到莱布尼兹的嘲笑。莱布尼兹讥讽牛顿的宇宙中，上帝需要不断干预物体的运动，就好像钟表匠需要给钟表上弦一样。
但是，牛顿对莱布尼兹这种传统哲学式的辩论并不感兴趣，也没有与莱布尼兹一方直接进行辩论，只在《原理》修订版的最后一节《总释》中指出，他用引力解释了天体运动和海洋潮汐，但是并未给出引力的起因，因为“凡不能从现象导出的，被称为假设，而假设在实验哲学中是没有地位的”，牛顿的名言是“我不做假设”。牛顿这个说法，现代读者或许会感到有点困惑，因为如果抽象地看，牛顿提出的万有引力也可以说是一种假设。不过，牛顿是从苹果下落和行星开普勒运动中导出它们所受的力，进而以归纳的方式提出万有引力的，因此不是这里牛顿所说的假设。他这里所说的假设是类似于笛卡尔漩涡那种并无直接实验支持的假设。牛顿认为，在实验哲学中，“命题由现象导出，且由归纳法使之一般化...... 重力确实存在，并按照我们已阐述的定律作用，由它足以解释我们天体和海洋的一切运动，这就够了”，而不必一定要把它归于“漩涡”那种符合日常生活直觉但没有严格的观测证据的假设。
莱布尼兹的哲学论述中仍保留着较浓厚的经院哲学式的色彩，而牛顿的论述则更为现代，牛顿在这场辩论中不战而胜。实际上，仅仅十几年后，法国哲学家伏尔泰来到英国，就被牛顿哲学观所折服，并在小说《老实人》中辛辣地讽刺了莱布尼兹那种“我们的世界是一切可能的世界中最好的世界”的哲学论证。不过，莱布尼兹也是一位具有深刻思想的哲学家，他的一些论证在去掉经院哲学的外衣之后也自有其道理，如他反对牛顿的绝对空间和绝对时间概念，认为只有物体之间的相对位置才有意义，这对于后世的相对论等突破牛顿物理学的发展都很有启发作用，但这是后话了。
6.结局
1716年，莱布尼兹在汉诺威去世了。晚年的莱布尼兹深受疾病折磨，他的声望也受到了打击，《通讯》给出的证据把莱布尼兹置于剽窃的嫌疑中，而莱布尼兹始终没能给出有力的证据证明自己的清白。他服务良久、关系密切的汉诺威王室此时登上了英国的王座，但他们此时的优先事项是巩固统治，避免激发英国人的反对，因此在牛顿-莱布尼兹之争中采取了中立态度，正如乔治一世说的，“两人都是我的臣民”。而且，可能出于避免矛盾激化的考虑，他们一直不让莱布尼兹到英国来。莱布尼兹的葬礼上只有寥寥几人，汉诺威王室成员们基本上忽视了这位服务多年的老臣，而只记得他最终也未能完成交给他的任务--他们家族史的写作。
莱布尼兹去世后，约翰・伯努利赶紧给牛顿写信，其中满是恭维的话，并否认他说过任何对牛顿不敬的话，但是人们都知道《传单》中引用的就是他的话。既然伯努利不承认，那好了，凯尔等人撰文痛骂《传单》中的“主要数学家”，这骂得再狠也与你伯努利无关，这令伯努利颇为尴尬。这些纷争又持续了几年，直到凯尔突然病逝后才结束，不过上了年纪的牛顿此时已对这场争斗感到厌烦了。
这场纷争导致英国数学家在此后一百年时间里坚持使用牛顿的流数符号，而拒绝在教学和研究中使用莱布尼兹的符号。但牛顿在设计这些符号时并没有如莱布尼兹那样精心设计，所以他的符号不如莱布尼兹的符号好用，后者可以更方便地写出对任意变量的求导和积分，也更容易推广到含有多个变量的偏微分。坚持仅用流数符号也使英国数学家在阅读欧洲大陆的数学文献时遇到困难，无法了解欧洲大陆的最新数学进展，英国的数学发展受到了严重的不利影响。直到一百年后的1820年代，英国才开始改用通行的莱布尼兹微积分符号。不过，牛顿记号中用在变量字母上加点表示对时间求导也仍然被许多学科继续使用，作为对莱布尼兹微分符号的一个补充。
四、结论
以上是牛顿-莱布尼兹对微积分发明权争端的大致过程，由于篇幅所限，这里只是提取了其中一些我认为比较重要的节点，还有很多事件或细节这里略去了，但应不至于影响对整个过程的理解。
在这场争端中，双方都有一些不甚体面的做法，因此史学家们一般认为双方都有责任。牛顿在青年时代固执地拒绝发表其微积分成果，而后来却又想要主张自己的发明权，这埋下了冲突的种子。不过就整个过程而言，牛顿本人的所作所为很大程度上是被动的，双方的冲突并不是他挑起的，他的加入是在被激怒之后，而且他基本是心口如一的。莱布尼兹也许是出于某种失衡的心理，匿名发帖贬低牛顿，最终引起冲突，反而损失了名誉。约翰・伯努利支持他的老师和朋友莱布尼兹，这本来可以理解，但他又假装中立，当面撒谎不带脸红。
作为皇家学会会长的牛顿召集的调查委员会确实并不公正，但可能也不像脑补的那样是出于什么权谋，毋宁说牛顿认为自己是正义的一方，证据明摆在那里，需要走个程序而已。
总之，牛顿可能有点固执自负，但并不阴险狡诈。
致谢：本文未特别注明出处的照片均取自维基百科网站相关词条，相关史实参考了下列著作。
参考著作
[1] D. T. Whiteside eds., The mathematical papers of Isaac Newton, vols. 1-8, Cambridge University Press, 1968
[2] Isaac Newton, The Principia, Mathematical Principles of Natural Philosophy, translation by I. Bernard Cohen and Anne Whitman, guide by I. Bernard Cohen, University of California Press, 1999
[3] Richard Westfall, Never at Rest, a biography of Isaac Newton, Cambridge University Press, 1980
[4] A. Rupert Hall, Philosophers at War, the quarrel between Newton and Leibniz, Cambridge University Press, 1980
[5] Jason Socrates Bardi, The calculus wars, Newton, Leibniz, and the greatest mathematical clash of all time, Thunder’s mouth Press, 2006
[6] Maria Rosa Antognazza, Leibniz, An Intellectual Biography, Cambridge University Press, 2009
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