摘要
本文的目的是讨论热力学函数的全微分和麦克斯韦关系，但是我们完全不提热力学， 而是研究一个有现金，
有钢材，并且存放垃圾的公司， 考察它在随行就市和自主定价两种模式下，公司资产变化的基本关系。
一 按市场价格运营的公司：现金，货物与垃圾
1 现金（U）
公司的现金就是钱，单位是元。我们这里这么说，现金是存在银行的，也叫存款，随时可以花。
人人都知道，存款的数目随时间， 存一笔多一些，取一笔少一些。
但是， 为了便于和某学科的问题对应起来，这里把存款看作连续可导的函数，
就是存款的数目分分秒秒都在变
U=U（t）.
时间t的单位是秒。本文其他函数都做同样的连续化理解。过了一个短时间(t, t+dt)， 比如过了10秒钟，
存款的增量为
dU = U(t+dt)-U（t）= U′(t) dt
U′(t)每秒钟存款增加了多少元。
2 货物（V）
为了具体化， 你可以把货物说成钢材。货物的重量为V， 单位为吨。
货物的价格用P表示，单位是 元/吨.
货物的价值为 PV。货物需要现金购买， 所以在某个小时间间隔 (t, t+dt)内，
dU=-PdV，
货物减少， 公司的现金就多了； 现金减少的时候， 货物就多了。由于货物的价格随时间变化，
存款的数目和货物多少不是函数关系， 不存在函数U（V）。
存款和货物价值的合计用H表示，
H = U+PV，
如果说， 货物价格在时间(t, t+dt)上涨了，你就高兴了， 因为你的资产增值为
dH = VdP.
3 垃圾（S）
我们说还有一种生意叫认领，就是你把一件东西拿走， 就给你付一定量的钱。
“哪有这样的事呢？”
比如垃圾， 你运走就给你按吨付钱， 按说你应该有一个设备， 把垃圾给处理成普通原料。
但是政策是这样的， 你没有设备也可以认领，有别人认领的时候， 你再转手给别人。
你没有设备， 但是急需花钱， 你就可以认领垃圾， 堆在自己院子里， 有机会再出钱请别人拉走。
现在说你手上的垃圾是S（单位是吨）， 垃圾的价格是T，单位为 元/吨.
那么你手上的垃圾要处理掉， 你得付钱， 垃圾具有付价值 -TS。
在短的时间段内， 存款和垃圾之间的关系
dU=TdS，
你院子里堆的垃圾多了，存款也多了； 垃圾少了， 存款相应减少 。
把现金和垃圾的价值总计记作F，
F=U-TS。
垃圾的价格一上涨， 你就不高兴了， 因为你的资产就减少了，
dF=-SdT
垃圾一降价， 你就高兴了， 因为很容易就清走了。
3. 货物和垃圾
一个公司同时从事两个业务，有存款U，有货物V，有垃圾S，货物的价格为P，
垃圾的价格为T， 则它的总资产为
G=U+PV-TS。
短时间内价格变动造成的增值为
dG=VdP-SdT,
如果货物涨价， 垃圾也涨价了， 你高兴不高兴， 就看这两件事哪个重量大， “喜忧参半”。
你高兴的事情是，货物涨价， 垃圾降价，“好事成双”；反过来，祸不单行，雪上加上霜，
就是你倒霉的时候。
存款在短期变化为
dU=-PdV+TdS，
读作 花钱买了一些货物dV，认领一些垃圾dS堆在院子里，得了一些现金。
货物和存款合计H， 在短期的变化
dH=VdP+TdS
你的货物涨价， 钱自然就多了； 你认领垃圾所得款项，自然是存银行了。
这期间， 你可能用存款买入一些货物或卖货物得了一点钱， 对于二者合计H没有影响，PdV不出现。
垃圾涨价也没有影响，现在说的是存款货物合计H， 所以SdT也不出现。
存款和垃圾合计写作F， 短期的变化
dF=-PdV-SdT
买了一些货物， 银行存款减少； 垃圾又涨价了， 使得存款和垃圾合计F减少。
货物涨价增值VdP,用现金又认领一些垃圾TdS, 与dF无关， 不出现， 自己想想。
例1 钢材的价格（P）不变的情况
有3个月时间钢材的价格不变，钢材有时买入有时卖出，如果没有买卖垃圾， 则这三个月里现金与钢材
价值合计是一个常数。
如果认领有垃圾，在三个月内因认领垃圾得到的现金为
Q = ∫Tds
这些钱或存银行或买货物，存款和货物价值合计的增值
ΔH = Q.
例2 垃圾的价格（T）不变的情况
有三个月时间， 垃圾的价格没有变化，垃圾的存量有时多有时少。
如果不买卖货物，则现金和垃圾价值之和不变。
如果不断地买卖货物，卖货物所得款项为
W = - ∫PdV
这些钱或存入银行， 或用于请人运走垃圾，
总之， 资金和垃圾价值合计的增值为
ΔF = W。
二 自主定价的公司： 现金， 货物 与 垃圾
这是另一种公司。 同样， 公司存款为U， 货物为V，垃圾是S。公司的信念完全不同。
公司根据自己的核算，定义了所持货物价格和垃圾价格，客户愿买愿卖， 悉听君便，
不买也行。
规定存款U和货物V以及垃圾S之间的函数
U=U（S， V），
就是用一个公式或表格， 确定了公司的垃圾为S货物为V时现金必须达到预定的值U。
估计是这么定的，持有货物多的情况下， 价格就低， 以便卖出； 垃圾多的情况，
价格就调高， 以吸引客户把垃圾运走。实际上， 我们对这种生意模式是非常陌生的。
例1 有人要卖给公司一些货物ΔV，请问公司要付多少钱？
答
查公司财务手册知道现金增额为
ΔU = U（S， V+ΔV）-U（S， V+ΔV）
既然是货物，当公司购买时ΔV>0,正常情况，应有ΔU <0, 即公司应当付款，
相反， 公司卖出货物，就有ΔU >0， 应当收客户的钱。
例2 有人要从公司领走ΔS的垃圾， 公司应该支付多少钱？
现金增额为
ΔU = U（S-ΔS， V）-U（S， V），
当ΔS>0时，ΔU<0, 向客户付款。
例3 有人要卖给公司一些货物ΔV，同时要从公司领走ΔS的垃圾， 公司应该支付多少钱？
公司现金增额为
ΔU = U（S-ΔS， V+ΔV）- U（S， V）.
ΔU > 0, 就要向客户收钱，公司存款增加，
ΔU = 0，不收钱。
ΔU < 0， 要给客户付钱。
特点
1） 我要从该公司买两吨钢材， 这就要付钱。 我可以先买一吨， 马上再买一顿。这两吨付费不同，
但是加起来和一次买两吨一样。
2） 我要卖1顿钢材给公司，并且认领1吨垃圾，公司要付钱给我。 我也可以先说买1吨钢材，付款后，
立即说领1吨垃圾，再付款。 或着把顺序倒过来， 得款数额一样。
对于很小很小的交易量， 货物和垃圾的价格分别为
P= （- эU/эV）S = P（S，V）
T= （эU/эS）V = T（S，V）.
货物价格P和垃圾价格T是货物数量V和垃圾存量S的函数。
实际上这些价格仅对无限小的交易成立，叫微分价格，就是零售价， 10公斤以下售价，
一旦要购买一定量的货物，比如1吨，款项需要查表或计算。
麦克斯韦关系
（эT/эV）S = -（эP/эS）V
读作
垃圾存量不变， 购入一吨货物导致垃圾价格的增长
等于
存货数量不变， 认领1吨垃圾导致货物价格增量的负数。
“为什么呢？”
通俗地来说， 是这样的：如果有人卖1顿货，送1吨垃圾， 又买1吨货， 又领1吨垃圾，
实际上这个客户， 只是动动嘴， 啥事没干， 公司会计做了计算， 应该付他多少钱呢？
0.
要是有学问一点， 是这么推到的：
考虑这个过程，
（S， V） →（S+ΔS， V）→（S+ΔS， V+ΔV）→（S， V+ΔV）→（S，V）
精确到二级小量， 计算现金的增量为
ΔU = （э2U/эSэV - э2U/эVэS）эVΔS = 0
于是
э2U/эSэV - э2U/эVэS=0，
（эT/эV）S = -（эP/эS）V.
例4 最简单的函数：固定价格
设公司规定的函数为
U=U（S， V）= -P0V+T0S
则公司对货物和垃圾的定价
P = （- эU/эV）S = P0
T = （эU/эS）V = T0
是常数， 这个公司很象以前的供销社，价格固定， 而且不存在其他销售途径。
三. 自主公司遇到市场
自主公司根据经营规则决定货物和垃圾的零售价P和T，就把价格挂在公司门口。 比如钢材的价格高于
市场价， 就有人运钢材来卖， 卖完之后， 因为公司钢材存量增加， 新核算出来的公司钢材价格就下降，
直到钢材价格和市场价格一样，同样道理， 垃圾价格也和市场价格持平， 就是
P(S, V) = P
T(S, V) = T.
就是公司改变了库存， 在新库存下， 零售价于市场价一致。
当市场价格P和T发生缓慢变动的时候，就又有交易，使得零售价再一次平衡， 这个是准静态过程，
把上面两式的S消去， 即得到
F（P,V,T)=0
或者
V = V（T，P)
就是说钢材库存随市场价格变动。 同样地，垃圾存量也是市场价格的函数，
S = S（T，P).
以上两式构成了公司库存方程。如果市场价格不变， 公司的库存是一定的， 没有买卖。
设在时间间隔(t, t+dt)内，
市场价格T，P变化为T+dT，P+dP,
库存S，V变化为S+dS，V+dV.
则当前资产变化情况如下：
现金U的变化为
dU=-PdV+TdS.
现金和货物价值合计H=U+PV的增量
dH=VdP+TdS，
现金和垃圾价值合计F=U-TS的增量
dF=-PdV-SdT.
公司总资产 G=U+PV-TS的增量
dG=VdP-SdT.
公司总资产是什么意思？
G=U+PV-TS
就是公司当前的现金U，加上所有货物以当前市场价统统出售变现PV，
扣除把公司堆放的垃圾清空的花费TS。
如果公司的主人要出国发展，他就可以把公司全部变成现金G带到国外。
如果公司分100个股份， 公司每股价值
g=G/100， 如果你想如股公司， 你就要准备这么多钱。
转载本文请联系原作者获取授权，同时请注明本文来自韦玉川科学网博客。
链接地址：https://wap.sciencenet.cn/blog-3004473-1468857.html?mobile=1
收藏
