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当我们讲“科学的简单性原则”的时候,是指解释复杂现象的“规律”,越简单越美,越简单越可能接近客观真理。网上近来展示了很多分形图片,很复杂、也很美,是视觉美。用简单的分数维来解释这样复杂的现象,产生这样的图案,那才是科学之美。
模型的简单性原则:
我们所谓模型就是对真实世界(事物、过程。。。)的数学描述,英文原意就是模特儿(model)。不同的模型有不同的逼真性。当然我们希望越逼真越好,但往往逼真性伴随着复杂性。以模特儿为例:
高度逼真 -------------马虎 (逼真性)
复杂 -------------―― 简单 (复杂性)
真人模特-塑料模特-------- 稻草人 (例)
推销时装------------- 赶麻雀(用途)
讨论模型的简单性,首先要明确建模的目的。用途不同,上面从名模到稻草人都可能是合理的。要赶麻雀,用真人模特就极不合理。但不懂这个道理,我们自己就还真干过。五十年代除四害,就发动群众,人海战术赶麻雀,想让麻雀无落脚之地。据说真有麻雀累坏了,飞着飞着就掉下来的,但总体来说,后果严重。这个例子,主要是从成本来考虑的。不考虑成本,单从科学的角度,模型的简单性原则也要求:
同样逼真、同样普适的情况下,模型越简单越好。或者换一个表述,即著名的“奥卡姆剃刀”:
如无必要,勿增实体 -- 多余的东西、统统刮掉。
对建模来讲,这里实体包括:假设,参数,运算的复杂性等等。600多年以来,从哥白尼的日心说,到牛顿的万有引力,到爱因斯坦的相对论,简单性原则已经取得巨大成功,成为重要的科学理念。以地心说为例,解释昼夜,简单、直观,但是地心说解释五大行星的运动,就复杂到连张衡,诸葛亮都头疼。而日心说给了日月五大行星在天穹上的运动一个简单而准确的描述,从而推动了整个自然科学的发展。哥白尼的成功,我们过去往往过多强调了科学对神学革命的一面,忽略了简单性原则成功的一面。这有时会闹出笑话来。比如最近有人批判地质学,说它整个建立在地心说的错误基础上。又如我遇到过10来个地理学博士(生),要算时差,脑袋自转来、自转去,想不清楚。我只好告诉他们,要解释时差,地心说实在就够了。这不算反革命。
要追求模型的简单性,重要的手段是变换。往往很简单的变换,就把很复杂的问题简化得非常简单。最著名的例子,当然还是日心说,一个坐标系的平移变换,就搞定。复杂一些的例子,比如Fourier变换,把千变万化的波形,用基波和谐波来描述。注意这两种著名的例子,都开始于纯粹的数学简单化,而这种简单化的物理机制,是在数学模型简单化之后才逐步清晰起来的。人们在日常生活中,也常常用变换来简化问题。民间故事里讲:
一个小姑娘,后妈和她过不去。后妈出门去玩,要她留在家里数清楚家里的米,一共有多少粒。后妈回来时,小姑娘已经数清了。后妈不信,要打人。家族长辈来干预,看这小姑娘怎么数的。结果她先数一千粒,称重。再称家里米的总重,算出来的。后妈还不服气,说你这样,误差多大?没有满足我要的“多少粒”的要求。长辈生气了,说,那你自己来数,看她的误差有多大。注意这里的变换,牵涉到自然数域到重量域的变换,以及反变换,也牵涉到后妈的误差分析的问题, 这是一个关键性的问题。今后还要专门讨论。
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GMT+8, 2023-5-31 04:45
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