现代数学的基础是点集拓扑，拓扑由开集定义，而最有趣的开集或许是空集。空集“什么也没有”，却有最独特的性质。例如，空集的下确界（infimum）比上确界（supremum）“大”。因为上确界是最小的“大”而下确界是最大的“小”。集合越小，下界越大，上界越小——当集合小到“空”的时候，当然下界变得“最大”（即+ ¥）而上界变得“最小”（即-¥）。这个时候，“下界”大于“上界”——Garyl Wise & Eric Hall在《概率与实分析的反例》（Counterexamples in Probability and Real Analysis）中，将它作为第一个反例。所谓“反”不是违背逻辑，而是背离直觉。

空集虽空，却能与任何一个集合构成一个拓扑，一个最平凡的拓扑（trivial topology），它所有的点都粘在一起（lumped together），任意两点间的距离为零而不能被拓扑地分开，所以叫“不可分拓扑”（Indiscrete topology）。

没有空集就没有拓扑，空集没有元素，也就没有不属于任何集合的元素，因而它是任何元素的子集。换句话说，因为空无，所以无处不在，所以逍遥自在。

空集的“没大没小”和“不分彼此”很有生活的趣味：内心的欲望越空，越是强大无穷；越是平凡，越能逍遥自在。庄子的《逍遥游》历来有不同的解读，我们现在加一个：空集的逍遥。其实这也是庄老师所谓的“虚室生白，吉祥止止”（《人间世》）。

突然发现今天是“小满”，小满的日子说“空虚”，倒也拓扑有理。

转载本文请联系原作者获取授权，同时请注明本文来自李泳科学网博客。

链接地址：https://wap.sciencenet.cn/blog-279992-891688.html?mobile=1

收藏

分享