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彭老说黑洞

2020-10-7 14:56

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【彭老在新书3F（Fashion, Faith, and Fantasy in the New Physics of the Universe）里回顾了他早年对黑洞和时空奇点的研究，正好借来解说他主要的获奖成果（PRL14(3), 1965）。下面的文字是从中译本（即将出版）第3.2节译稿里直接摘录的，无暇校对，或有疏漏和错误，需引用的同学请对照原文。文中保留了参考文献注记，但文献就偷懒从略了。】

1964年秋，我开始认真思考这个问题[球对称的偏离会阻止奇点生成吗？]，想知道我有没有可能用我先前在稳恒态宇宙模型背景下发展的数学方法来回答它。那是邦迪（Hermann Bondi）、古尔德（Thomas Gold）和霍伊尔（Fred Hoyle）在1950年代提出的模型（见[Sciama 1959, 1969]），它的宇宙没有开始，膨胀是持续的而且没有终结，物质因膨胀而变得稀薄，但是有在整个宇宙中不断（以很低速率）新生的物质（主要以氢的形式）来补充。通常的稳恒态图景用了完全的时空对称，我曾想知道，如果出现对这个完全对称的偏离，会不会避免稳恒态模型与标准广义相对论（连同前面3.1节说的关于普通物质的正能量要求）的明显矛盾呢？通过运用几何/拓扑方法，我相信这种对称偏离不能消除矛盾。我从没发表这个论证，但我在不同背景下用过同样的思想，应用于（以大致但不十分严格的方式）引力辐射系统的渐进结构[Penrose 1965b附录]。这些方法不同于广义相对论中常用的方法，那些方法通常需要寻求具体的特殊解或进行大量的数值计算。

至于引力坍缩，我们的目的是证明在任何坍缩充分严峻的情形下，对称偏离的出现（以及比弗里德曼尘埃或托尔曼辐射等等更一般的状态方程的运用）不会根本改变传统的奥本海默-斯尼德图景，因而不可避免地会出现某种阻碍任何完全光滑演化的奇点。需要记住的是，还有很多其他情形，物体可能以相对温和的方式发生引力收缩，而其他力的出现或许会产生一个稳定的构型或某种反弹。于是，我们就需要一个恰当的准则来刻画奥本海默-斯尼德情形下表现的（如图3.9）这种不可挽回的坍缩。当然，基本的要求是，这个准则不能是那些依赖于任何对称假定的东西。

经过长久思考，我开始认识到没有完全局域的特征能满足这些要求，关于时空曲率的任何总体或平均意义的度量也毫无意义。最后，我想到了俘获曲面的概念，它在时空的出现是无限坍缩确实发生的良好信号。（对产生这个想法的奇怪背景感兴趣的读者，请参看Penrose [1989 p.420]）。专业地说，俘获曲面是一个闭合类空2维曲面，其所有零法向方向——如图3.10（也见1.7节）——都向未来方向汇聚。“法向”的意思是普通欧氏几何的“直角”（见图1.7节图1.18），我们在图3.10看到，（指向未来的）零法向给出了从2维曲面发出的光线（即零测地线）的方向，从包含给定2维曲面的任何时刻的类空3维曲面看，光线都与曲面呈直角。

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图3.9 趋向黑洞的引力坍缩的标准图像。视界外的观测者不可能看见视界内的事件。

为了从空间理解这个思想，考虑普通欧氏3维空间中的一个2维光滑曲面S。想象在曲面S上出现一道闪光，我们来看闪光的波前如何从S向外传播，是朝S的哪一边（图3.11a）。在S弯曲的地方，在凹面的波前面积会立即开始收缩，而凸面的波前会膨胀。然而，俘获曲面S发生的事情却是S两面的波前都开始收缩！见图3.11b。乍看起来，这似乎是任何普通2维类空曲面都不可能实现的局域条件，但在时空中就不是这样了。即使在平直时空（闵可夫斯基空间，见1.7节图1.23）中，也很容易构造一个局域俘获的2维曲面。最简单的例子是将S作为类空分离顶点为P和Q的两个过去光锥的相交面，见图3.11c。这里，S的零法向都聚向未来（朝P或Q）（这之所以挑战我们对3维欧氏空间中的2维曲面的直觉，是因为这个S不可能包含在单个3维欧氏空间或“时间片”）。然而，这个特殊额S不是俘获面，因为它不是闭合（即紧致，见A3）曲面。（在有些情形中，“闭合俘获面”就是我所的俘获面[例如，见Hawking and Ellis 1973]。）于是，时空包含俘获面的条件其实不是局域条件。坍缩发生后，奥本海默-斯尼德时空在史瓦西半径下的区域包含了一个真实的（即闭合的）俘获面。根据俘获面条件的本性，任何导致这种坍缩的初始数据的可能小扰动，也必然包含俘获面，与任何对称考虑无关。（令人疑惑的是，从专业上说，这是所谓的“开”条件，意思是足够小的变化不会破坏这个条件。）

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图3.10 类空2维曲面零法向方向是从与之呈直角的2维曲面发出的光线方向（从任意时刻的包含给定2维曲面的3维类空曲面看）。

我在1964年建立的定理[Penrose 1965a]从根本上表明，当俘获面在时空出现时，它就要产生奇点。说得更准确些，它证明了假如时空（遵从我要在下面说的某些物理上合理的约束）包含俘获面，就不可能向未来无限延伸。这种非延伸性就是出现奇点的信号。虽然这样一个定理说明不了无限曲率或无限密度，但也很难看到在一般情形下有什么其他类型的阻碍能阻止时空向未来演化。理论上还有其他的可能，但在一般条件下它们是不会出现的（即它们只在限制的函数自由度下才会出现，见A2和A8）。

定理还依赖于以下假定：爱因斯坦方程（有或没有宇宙学常数Λ）成立的能量源张量T满足所谓的零能量条件（它断言，对任何零矢n，T缩并两次得到的量永远不会是负的）。这是对引力源的一个很弱的要求，对任何物理上合理的经典物质都是正确的。我需要做的其他假定是，认为时空是作为普通的时间演化从某种无空间边界的初始状态——技术上说，即是从一种非紧致的（即“开的”——见A5）初始类空3维曲面——生成的。这基本上确立了以下结论：对物理上合理的经典物质来说，在引力坍缩的局域情形，一旦出现俘获面，奇点就不可避免，与任何对称假定无关。

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图3.11 俘获面条件：（a）在寻常欧氏3维空间，在弯曲2维面S上瞬时出现的一个闪光，如果从凹面来，它将减小其面积；如果从凸面来，它将增大其面积。（b）另一方面，对俘获面的任何局域空间碎片S，光线在两面都将出现汇聚。（c）对非紧致S，“局域俘获”并不是时空中的反常行为，因为它在两个过去光锥交汇的闵可夫斯基空间中已经出现了。

当然，我们仍然可以问，俘获面是否可能在合理的天体物理学条件下出现？特别是可能有人抱有这样的观点：对那些比中子星还致密的物体，我们对在那样巨大密度下的相关粒子物理学的认识或许还不足以为实际发生的事情提供可靠的图像。然而，这算不得什么问题，因为也可能出现其他引力坍缩情景，其俘获面能在普通密度下生成。根本说来，这是广义相对论在总体尺度改变下的行为方式决定的。