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0 学过平面几何的人都能出题目自己来做,学习也就具有了研究的性质。1984年我曾整理三角形作图问题,送给刚到农村初中任教的弟弟——学生问及好有个应对。前篇博文介绍了已知三高、三中线、三角平分线以及一边之高、中线和对角平分线的作图。
此情可待成追忆:中学平面几何 http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-837601.html
应行仁老师说“几何题,所用到的知识不多,妙在想对思路;一旦解出,清清楚楚无可辩驳”;李轻舟老师也说“探索性平面几何题(包括尺规作图)的思维要求并不比一些‘科研’低”。因而再给出两组三角形作图,并说几句感想。
1 已知三角形边a和对角A,作线段BC = a和∠BCQ=∠A,作BC的垂直平分线和CQ的垂线交于点O;顶点A在以O为圆心、OC为半径的弦切圆上。
(1) 给定一边、一角以及中线ma,容易确定三角形。
(2) 给定高hb ,则以B为心、以hb作圆;过C点作该圆之切线交圆O于点A
(3) 给定中线mb ,则以B为心、mb 为半径作圆,与直径OC的圆交于E,延长CE交圆O于A
(4) 给定角平分线tb 不能(?)以规尺作出三角形(说明省略)。
(5) 给定ta,ATN为角A平分线,记圆O半径为R,MN=δ,AN=η;基于三角形相似,有
δ/η = (η–ta) /2R,(η– ta/2)2 =( ta/2)2 +2Rδ。2Rδ 等于BN平方,取 BF=FA’=ta/2,有η = NA’
2 已知边a和高ha,线段BC = a,再给一个条件可在与BC相距ha的平行直线L上确定顶点A。
(1) 给定一边、一角以及中线ma,容易确定点A。
(2) 给定高hb ,则以B为心、半径hb作圆;过C点作该圆之切线交直线L于点A
(3) 给定中线mb ,则以B为心、以2 mb 在直线L上截取A’;而AA’=a (两解)
(4) 给定角平分线tb 不能(?)以规尺作出三角形
(5) 给定ta,可如图作RtΔADT,记∠TAD=γ,有
ha [ tan(A/2+γ) + tan(A/2–γ) ]=a ,
即sinA/(cosA+cos 2γ) = a / 2 ha ,记为 tanφ,有
sin(A–φ) =sinφcos 2γ,可求得∠A(似乎不够简明直接,敬请高人出手)。
3 30年前进行三角形作图时内心充满愉悦——复习过去所学并能有所收获;写作前述博文同样充满愉悦。看到应老师的评论“我初二时(1961年)自问自答一道尺规作图题:平面上任给一条直线和在直线同一边的两个点,要求画一个园过这两点与这直线相切”,随即想到“连接两点、延长与直线相交,交点至两点距离乘积为切线平方,确定切点(两解)”;并说“我知道了。我在文中提及割线定理,应老师特地来'点化'。谢谢应老师啦”。内心之愉悦不说可知。
AP 为直径,DB⊥AP,切线长 PC1 =PD
后又见到应老师说“知道割线定理后,用尺规作图来实现,只需要一个小技巧”,也就会心一笑,没有说话:直角边平方等于其投影与斜边之乘积。随即就想到另一个题目:作圆过给定一点P并与两边相切——以图示相似变换即可实现。
这些该是中学数学教师的功课。我曾就岩石强度准则做过类似功课,最终写成 Comparison of the accuracy of some conventional triaxial strength criteria for intact rock. Inter J Rock Mech Min Sci,2011,48:852–863. 相关工作主要是增进自己的学术素养,尽管也提出单参数的正则抛物线准则和三参数的指数准则。
4 今年6月27日到复旦大学参加女儿的博士毕业典礼;听致词的一位同学说“复旦以自由和无用为灵魂”,颇有感触。我们确实过于功利——关心经费、关心项目、关心论文;许多人说研究的艰辛,说写作的困难,说发表的烦恼;而叙说读书、授课、写作之愉悦的却很少很少。
也许业绩考核使部分教师受压变形。学校制定的政策并不合情合理,可大家只能被动应付。就我所知,为了完成学校规定的业绩,少数同仁不得以申报没有新意的专利、发表没有读者的论文,内心充满苦痛而难以排解。
我曾多次说过,“我希望愉快地做一名正直的教师。因而,对于偏离正道的诱惑,抵御于内;对于偏离正道的逼迫,抗争于外”。当然,这并不容易,需要付出代价。
5 上周末回母校参加毕业30年聚会,大家叙说别后情形。我说,除了头发白了些,自己与30年前一样,没有什么变化呢。同学们竟认可我的说辞,有人说“社会变化啦,你不变怎行”。
许多同学知道我与勾攀峰先生的争执,关切之情溢于言表。还好,事情恰巧了结。ZWD同学以兄长的口吻个别“教训”我有二十分钟之久,说“以后一定不允许这样”。不过,CW同学在餐桌上所问“你这么干为什么?对你有什么好处”,使我略有些为难。我只得挺直腰、抬起头,说“不为什么。只是这样的事情总得有人去做啊。做成之后别有一种愉悦呢”。
6 我想,与30年前相比,现在的生活条件、工作环境已极大改善,需要的只是心态良好而已。也许,我们真该以“自由而无用的灵魂”,享受“阅读及写作的愉悦”。
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