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宇宙学还可以这么学之基础篇第4回 精选

已有 4093 次阅读 2015-5-31 07:34 |个人分类:宇宙学还可以这么学之基础篇|系统分类:科普集锦| 相对论, 爱因斯坦, 引力, 宇宙学还可以这么学

【宇宙动力学方程】

张小雨:“师兄,我终于宇宙动力学方程了,算得我好累。”张小雨甩了甩发酸的手臂,“广义相对论的计算还是有些麻烦的,不过我还是挺厉害的吧,嘿嘿。”

司马弦:“看你得意的。不过想想当年,前辈们第一个次得到这些方程时,那该有多兴奋。”司马弦指着其中一个方程说,“这就是我们通常说的Friedmann方程:

<方程1:Friedmann方程>

$\left(\frac{\dot a}{a} \right )^2 + \frac{k}{a^2} = \frac{8\pi G}{3}\rho$

这其实是一个约束方程,有点类似于能量守恒方程,它起源于时间平移不变性。换句话说,我们可以重新定义方程中的时间变量,而不引起物理过程的变化。你看,上面这个方程的左边第一项,是不是有点像通常物体的动能(正比于速度的平方)。另外,从爱因斯坦方程中,你应该还可以得到一个方程:

<方程2:宇宙动力学方程>

$\frac{\ddot a}{a} = -\frac{4\pi G}{3}(\rho+3p)$

这个才是真正的动力学方程,比较一下牛二定律,是不是很像 $\ddot s = F/m$ 。今后我们的任务就是通过求解a,来了解宇宙的演化规律。”

张小雨:“可是,师兄,这里还有一个方程呢:

<方程3:物质能量守恒方程>

$\dot \rho + 3\frac{\dot a}{a}(\rho + p) = 0$

我是从 $\nabla_\mu T^{\mu 0} = 0$ 这个式子得到的。”

司马弦:“你算的很仔细,这个方程是爱因斯坦方程自动满足的。如果不信,你可以算算看,从前面方程1和方程2出发,就可以推导出方程3,反之亦然,所以这三个方程只有两个是独立的。”司马弦继续解释道,“事实上,爱因斯坦张量满足Bianchi恒等式,因此就会有能量动量张量守恒定律:

$\nabla_\mu G^{\mu\nu} = 0 \Rightarrow \nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0$

这个定律的时间分量就是你得到的方程,而空间分量是自动满足的。但爱因斯坦本人,在当年创建广义相对论的时候,并不知道这个事实,而是凭着他的物理“直觉”,认为能动量就应当满足守恒方程看来,物理直觉是多么重要啊”。

【小试牛刀】

张小雨:“师兄,不对呀,现在有两个独立的方程,可是有三个未知函数, $a(t),\rho(t), p(t)$ ,那我怎么解呀?”

司马弦:“你说对了,所以,我们还需要引入另外一个方程,俗称‘状态方程’:

<方程4:状态方程>

$p = w\rho$

这里的w,叫做状态方程参数,它可以是个常数,也可以是一个一般的函数。其实,这个方程早就出现在热力学的课本里了。简单地讲,它表示某种流体的压强和能量密度之间的关系。最早,人们是通过各种热力学实验,总结出来这些关系的,后来发现,可以从分子微观运动理论,运用统计的方法得到状态方程。”

张小雨:“师兄,你能举个例子吗?”

司马弦:“在宇宙学里,最重要的三种流体包括:物质(低速、非相对论性),辐射(高速、相对论性),真空能(或者叫宇宙学常数,量子、相对论性),他们的状态方程参数分别是,w=0(物质)、w=1/3(辐射),w=-1(真空能),暂时先别管我怎么知道这些数值的,我们先来看看如何来求解宇宙动力学方程,从而得到宇宙的演化规律。”

张小雨:“这里有三个方程,我该选哪两个方程呢?”

司马弦:“随便选哪两个都可以,如果是我的话,就选择方程1和方程3,因为最简单。Simple is beauty!”,司马弦故意拽了几个有家乡风味的英文,接着说道,“我们暂时只考虑空间平直的宇宙,即k=0的宇宙。好了,这样我们需要求解的方程组就是:

<方程5,方程6>

$\frac{d\rho}{dt} + 3\frac{da}{adt}\rho(1+w) = 0$

$\frac{da}{adt} = \sqrt{\frac{8\pi G}{3}\rho}$

为了方便,我把微分的记号完全写出来了,方程5和方程6其实完全来自于方程3和方程1。”

张小雨:“师兄,你已经把状态方程带入方程3,才得到的公式5吧?那我们怎么解这两个方程呢?”

司马弦:“你说的对,状态方程已经带入,这样两个方程两个未知数,就可以求解了。”司马弦在纸上画了几条线,接着说道,“我们的策略是这样的,通过求解方程5,就可以得到 $\rho$ 和a的关系,之后把这个关系带入道方程6中,就可以求解得到a关于时间t的函数了。”

张小雨:“先算一个w=0的吧。”

司马弦:“好的,假设宇宙是以物质为主要成分的,那么从方程5,你可以得到

$\frac{d\rho}{\rho} = -3\frac{da}{a} \Rightarrow \rho \sim a^{-3}$

带入方程6后,又得到

$\frac{da}{a} \sim \sqrt{\frac{1}{a^3}} \Rightarrow a^{1/2}da \sim dt \Rightarrow a\sim t^{2/3}$

看到了吧,这就是宇宙的解了!如果是物质为主要成分的宇宙,它将以时间的2/3次方膨胀!”

张小雨:“居然这么简单!哈哈,我也能洞察宇宙的演化规律了!不过,师兄,你在计算的时候老是写一个~号,是个什么意思?计算的过程好像也没有那么严格?”

司马弦:“这正是我要说的,~就是约等于的意思,把一切可以暂时不理的常数统统省略,一来可以方便计算,二来不容易出错。”司马弦露出得意的笑容,“虽然我的计算看上去很不严格,其实那仅仅只是看上去。比如,我得到的能量密度与a的关系,如果要把积分常数写出来就是

$\rho = \rho_0 \left(\frac{a}{a_0}\right)^{-3}$

怎么写出来的呢,说出来很简单,就是量纲分析:方程左边能量密度是一个能量4次方量纲的,那我就在右边乘以一个常数,最自然的就是能量密度在某个时刻的值;对a也作同样的处理,那么这里的 $\rho_0$ 就是 $a=a_0$ 时刻的值,而且我们一般取宇宙现在的时刻为 $a_0$ 。”

张小雨:“哦,原来是这样,那我来试试:

$a(t) = a_0 \left(\frac{t}{t_0} \right )^{2/3}$

这里的 $a_0$ 就是 $t=t_0$ 时刻的值。”

司马弦:“学的挺快。所以,从中可以发现,物质为主的平直宇宙将会一直膨胀下去,而且宇宙存在一个起点,t=0且a=0。”司马弦接着算道,“还记得哈勃参数吗?我们来算算

$H(t) = \frac{da}{adt} = \frac{2}{3t}$

那么,根据这个式子,你可以得到宇宙现在的年龄大概就是 $t_0 = 2/(3H_0)$ 。以后你会发现这个数值比观测值要小,也就是说现在的宇宙并不是以物质为主要成分的,到时,我会再详细得解释给你听。另外,我们还可以得到:

$\rho = \rho_0 \left(\frac{t}{t_0}\right)^{-2} = \frac{\rho_0t_0^2}{t^2} = \frac{1}{t^2}\frac{4\rho_0}{9H_0^2} =\frac{1}{6\pi G t^2}$

其中,我们用到了Friedmann方程哦:

$H_0^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho_0$

能量密度虽然是以 $a^{-3}$ 演化的,却是以 $t^{-2}$ 演化的,这是由于宇宙的演化并不是时间的线性函数,而是以 $t^{2/3}$ 的形式演化。”司马弦沉思了一下,“从另外一个角度讲,密度和体积成反比,体积又和长度的三次方成正比,而长度由于宇宙膨胀而变长了,那么密度自然就和 $a^{-3}$ 成正比。

$l\sim a\,, V\sim l^3\sim a^3\,,\Rightarrow \rho\sim 1/V\sim a^{-3}$

看懂了吧?”

张小雨:“看懂了。那是不是也可以用同样的方法,来求解当w=1/3,-1的情况?”

司马弦:“是的,这就留给你自己完成了哦,你会发现如果是辐射为主要成分的宇宙,其能量密度不是 $a^{-3}$ ,而是和 $a^{-4}$ 成正比,这究竟是怎么回事,你能想的明白吗?我先卖个关子,等你算完了再告诉你。

(未完待续……,预告:下回将会有一个番外的内容:广义相对论vs牛顿万有引力)



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