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绝妙的证明-2

2022-1-28 17:43

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欧拉.jpg

在《绝妙的证明》中，我们谈论了欧拉对无穷级数的有趣研究，通过在级数和与三角函数间建立联系，欧拉首次找到了巴塞尔问题 -自然数平方倒数之和（黎曼 zeta 函数2）的解:

$\zeta (2)\, =\, \sum ^{\infty }_{n=1} {{n}^{-2}}\, =\, \frac {1} {{1}^{2}}+\frac {1} {{2}^{2}}+...\, =\, \frac {{\pi }^{2}} {6}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (1)\, \, \,$

这是一个著名的结果，这里出现的π体现了该级数和与圆周运动（三角函数）之间有联系。实际上，黎曼 zeta 函数的偶数值与伯努利（Bernoulli）数之间可写下一个解析公式，而黎曼 zeta 函数的奇数值则至今仍无公式。

如拉普拉斯说过的，“读读欧拉吧，他是所有人的老师”。本文在欧拉计算的启发下，写下另一个有趣的计算。

让我们考虑函数:

$f(x)=\frac {1-\cos {x}} {{x}^{2}}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (2)$

由泰勒展开有：

$f(x)=\frac {1} {{x}^{2}}(\frac {1} {2!}\, {x}^{2}-\, \frac {1} {4!}{\, x}^{4}\, +\, ...)\, =\frac {1} {2}\, -\frac {1} {4!}\, {x}^{2}\, +...\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (3)$

现在，我们寻找函数 f(x) 的零点。显然，零点 x₀由方程: Cosx₀ = 1 决定，其给出零点：x₀= ±2nπ,n = 1,2,...

注意：

(I) x₀= 0 不是零点，因为由(3)易知：f(0) = 1/2.

(II) 零点由分母 g(x) = 1-cosx 决定。

由于: g'(x) = sinx,g''(x) = cosx,故：g'(x0) = 0,g''(x₀) = 1 ≠ 0,则:

${lim}_{x\to {x}_{0}\, }\frac {g(x)} {{(x-{x}_{0})}^{2}}\, =\, \frac {1} {2}\, \neq 0\, \, \, \, \, \, \, \, (4)$

故 x₀是 g(x),故 f(x) 的二阶零点。

由(3)知：f(0)=1/2，结合以上分析 f(x) 的零点结构，我们可写下：

$f(x)\, =\, \frac {1} {2}\, {\Pi }^{\infty }_{n=1}\, {(1-\frac {x} {2n\pi })}^{2}{(1+\frac {x} {2n\pi })}^{2}\, =\, \frac {1} {2}\, {\Pi }^{\infty }_{n=1}\, {(1-\frac {{x}^{2}} {4{\pi }^{2}{n}^{2}})}^{2}\,$ $=\frac {1} {2}\, \left [ {1-\left ( {\frac {1} {2{\pi }^{2}}\sum ^{\infty }_{n=1} {\frac {1} {{n}^{2}}}} \right )\, {x}^{2}+...} \right ]\, \, \, \, \, \, \, \, \, (5)$

现在对比(3)和(5),多项式逐级相等：

${x}^{0}:\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \frac {1} {2}\, =\, \frac {1} {2}$

${x}^{2}:\, \, \, \, \, \, \frac {1} {4!}\, =\, \frac {\zeta (2)} {4{\pi }^{2}}\, \, \, \, \Longrightarrow \, \, \, \zeta (2)\, =\, \frac {{\pi }^{2}} {6}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (6)$

这样，我们就用欧拉的方法，通过构造另一个三角函数，得到了著名的黎曼 zeta 函数2的数值。

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