苗兵
维克定理的简单推导
2021-10-28 17:04
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    维克定理(Wick's theorem)是场论中非常重要的一个定理,不仅是微扰场论费曼图方法的基础,又在讨论非微扰场论中起重要的作用。场论中,维克定理用于计算场相互作用项的自由场期望值,我们知道,自由场论是一个高斯理论,因此,本文演示由高斯积分直接得到维克定理的方法。


    让我们从标量出发。考虑随机变量 x,服从高斯分布,期望值为零: <x>=0 (因此x可认为是相对于期望的涨落),方差: <x2>=σ2.即:

我们的目标是计算随机量的各阶平均值:<xn>. 通用的方法是构造分布 P(x) 的生成函数(Generating function):

显然,如果取: λ=-ik, 则生成函数 G(λ) 就是 P(x) 的傅里叶变换。


一方面,将(2)在 λ=0 做泰勒展开:

故<xn>由G(λ)的n-阶导数零点取值给出。


另一方面,由于P(x)是高斯分布,我们可以直接算出(2):


对比(3)和(4), 我们得到:

式(6)就是标量情形下著名的维克定理,其中(2n-1)!!是参与平均的2n个随机变量x配对的方式数。


直接推广到矢量情形,维克定理写作:

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