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高维球面面积怎么算

2020-2-29 13:39

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标签：统计物理, 数学物理

在量子场论和统计场论中，散射振幅的计算需要考虑大量费曼图(Feynman Diagram)所对应的4维积分。其中涉及到的一个重要计算是4维球面面积。

我们早就知道,2维球面面积(圆周长)是2πR,3维球面面积是4πR²,那么4维，5维，以及更高维呢？本文介绍一种计算一般维球面面积的技巧，我们将利用高斯积分。

让我们在一般的d维考虑如下积分：

$\int {{d}^{d}}k\, f(k)=C(d)\int ^{\infty }_{0} {dk\, {k}^{d-1}f(k)}$ (1)

这里，k是d维矢量的模，被积函数f(k)仅依赖于模k，因此在等式里，我们可将d维空间的角度部分积出，定义为C(d)。C(d)是什么？若我们考虑

$f(k)=\delta (k-1)$ (2)

则由(1)易知C(d)正是d维单位球面的面积。若定义f(k)=δ(k-R),立即得到d维半径为R的球面面积为C(d)R^d-1_。

满足上述性质的哪个积分在任意d维我们都会算呢？高斯积分。考虑f(k)是高斯函数,我们有

$\int {{d}^{d}}k\, {e}^{-{k}^{2}}={\pi }^{d/2}$ (3)

另一方面，由（1），有

$\int {{d}^{d}}k\, {e}^{-{k}^{2}}=C(d)\int ^{\infty }_{0} {dk\, {k}^{d-1}{e}^{-{k}^{2}}}=C(d)\frac {1} {2}\int ^{\infty }_{0} {dt\, {t}^{\frac {d} {2}-1}{e}^{-t}}=\frac {1} {2}C(d)\Gamma (\frac {d} {2})$ (4)

其中，Γ(x)是伽马函数。结合(3)和(4)，我们得到d维单位球面面积：

$C(d)=\frac {2{\pi }^{d/2}} {\Gamma (d/2)}$ (5)

让我们检查一下：d=1,C(1)=2，1维单位球面面积是两个端点，为2；d=2,C(2)=2π；d=3,C(3)=4π；全对。同时，d=4,我们立即知道：C(4)=2π²。此式用于费曼图的计算。更加高维的C(d)在量子场论维数正规化(Dimensional Regularization)中用到。另外，若在(1)中取f(k)=1,换积分限为0到R，即得d维半径为R的球体体积为C(d)R^d/d。

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