在平衡态统计力学里，自由能(Free Energy)占据中心重要的地位。给定统计模型，若设法求出自由能，则该统计模型得解，各热力学性质均可通过自由能的微分运算算出。

    平衡态统计力学有三部曲：1.计算体系能谱；2.求能谱和，得到配分函数和自由能；3.自由能微分得热力学函数。一般情形下，2是难点，也就是说，大多数统计模型的能谱和难以有严格解。这使得物理学家发展了许多近似求解方法，例如平均场理论，以及更为一般的微扰理论。

    变分法(Variational Method)是一种非常有用的近似求解统计模型之法。在变分法下的处理，可以超越微扰理论。本文中，我们简单介绍一般的变分法计算自由能之方法。

    考虑一个统计体系，我们将其自由度（微观状态）以x标记。注意，取决于问题，x是高维状态变量。对应状态x的能量(哈密尔顿量)记为H(x)。这就完成了三部曲的第一部。

    已经知道，状态的玻尔兹曼分布是使得自由能最小化的平衡态分布，因此有:

   (1)

这里，Z和F分别是配分函数和自由能，kT是热能。F=-kTlnZ=-kTln∫dxe^-H(x)/kT。显然P(x)是归一化的: ∫dxP(x)=1。且有P(x)≥0.

    可是，由于能谱H(x)的复杂，无法严格积出Z. 我们因此利用变分法。

    首先构造一个可以求解的能谱问题: H₀(x)=H₀(x;{a}),这里{a}是一组可调变分参数。则有：

  (2)

这里，Z₀可积。F₀=-kTlnZ₀=-kTln∫dxe^-H0^(x)/kT。显然，P₀(x)也是归一的: ∫dxP₀(x)=1，且P₀(x)≥0.

    我们有：

(3)

这里，我们用了:(1) P(x)≥0;(2) 对于y>0,ylny≥y-1;(3)∫dxP(x)=∫dxP₀(x)=1.

    由(3)，我们得到：

  (4)

即：

   (5)

    这里，我们用了F₀=<H₀>₀-TS₀.可见，该式右侧的变分自由能F_var定出统计模型真实自由能的上限。因而，我们可以对变分参数组{a}求变分极小，近似获得体系的自由能。

    变分法的好坏取决于变分函数H₀(x)或者说P₀(x)的选取。若选体系变分能量具有可加性，或说变分分布具有可乘性：P₀(x)=∏_ne^-H0^(xn^)/kT,H₀(x)=∑_nH₀(x_n),这里体系状态x={x_n},这就是统计物理里的平均场理论。若选H₀(x)是x的二次型，那么P₀(x)为高斯分布，则是统计物理中的高斯变分法。通过高斯变分法，自洽地求出变分参数（峰位<x>和峰宽<(△x)²>）,可以获得统计模型超越微扰论的结果。

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