卡西米尔效应（The Casimir Effect）是量子场论的一个重要结果。在量子力学创建之后，人们理解了由于海森伯不确定性原理（The Heisenberg Uncertainty Principle），真空不是空的，而是充满了量子涨落（Quantum Fluctuation）。量子涨落带来非零的真空能量，物理上称之为零点能（Zero Point Energy）。卡西米尔效应正是零点能存在的一个直接结果。

    如果去计算真空的零点能，由于不确定性原理，所有频率的量子场涨落模都需要考虑，零点能形如：E≌(1/2)∫dω hω. 由于没有频率的截断，这个计算显然会带来无穷大的零点能，这正是量子场论紫外发散的体现。1948年，荷兰物理学家 Hendrik Casimir 有了一个绝妙的想法：如果我们去扰动真空（Disturb the Vacuum）会怎么样？ 虽然真空能是无穷大，可是会不会在扰动真空之后，扣除掉原先的真空能，会得出一个有限大小的能量呢？

    这是一个极具物理趣味的想法。因为，物理体系是需要被测量的。在一个体系中引入外加可控约束条件，研究体系对该条件的响应，正是物理的研究方法。并且，我们知道，除了引力之外，所有其他的物理理论中能量只具有相对意义。

    Casimir于是在真空中引入了两个平行的中性理想导电金属平板，要求平板是无穷大和无穷薄的。经过数学计算，Casimir发现扣除掉原先的真空能后，约束的两平板真空能量是一个随着板间距离变化的有限能量，如果计算该变化率，可以得到两板之间的一个吸引力，著名的卡西米尔力（The Casimir Force）公式如下：

  (1)

注意，由于字母录入限制，这里的h=h\bar=h/(2\pi)。a是板间距离。这是两平板之间单位面积的力量大小，又称为卡西米尔压（The Casimir Pressure）。从卡西米尔力的公式可以知道：1. 由于h的存在，这个力在经典电动力学是不存在的（两个中性导体板之间没有经典力），卡西米尔力是一个纯粹的量子效应。2. 由于c的存在，卡西米尔力的计算中有相对论效应（Relativity Effect）。3. 负号代表这是一个吸引力量。

    卡西米尔力有多大？我们可以做一个简单估算，考虑一个相对于微观尺度较大的间距：a=1微米，代入各个常数后，卡西米尔压大约是1.3 mPa，这已经是一个宏观的数值。因此，令人惊叹的是，真空量子涨落导致的卡西米尔力可以具有宏观的效应，卡西米尔力是量子效应在宏观上的体现。

（I）故事

    是什么动机引导Casimir做如上计算的呢？这里有一段有趣的故事，我们会看到，卡西米尔力的研究有着非常实际的动机。

    Casimir是在研究胶体的稳定性问题时，启发了卡西米尔力的计算。这个故事要从 Casimir 的前辈，著名的荷兰物理学家 Van der Waals 说起。我们知道 Van der Waals 方程是对理想气体状态方程的重要修正，它是第一个重要的平均场理论处理。Van der Waals在研究状态方程时，需要考虑一般的分子之间相互作用，即Van der Waals力。Van der Waals 力有几种情形，其中最一般的情形是两个中性的可极化分子之间的相互作用，最早的计算是由London所做的，这个力量被称为色散力（Dispersion Force），原因是这个力量计算里需要考虑极化率（Polarizability）。

    London计算发现这两个中性分子间的 Dispersion Interaction 是一个(1/r⁶)的吸引相互作用。粗略地来理解，这个(-6)指数是因为：该力量是分子的诱导偶极-诱导偶极相互作用，由于量子涨落，分子1产生诱导偶极，诱导偶极产生的诱导电场是E∽1/r³，分子2在E下产生诱导偶极p∽αE∽1/r³，这里α是分子的极化率，相互作用能 V∽-p·E∽-1/r⁶。

    这个分子间的Van der Waals吸引力被用于胶体稳定性的研究，它带来胶体的不稳定性，如果该力量大于胶体之间的排斥力，胶体体系就会发生凝聚而失去稳定性。Derjaguin-Landau-Verwey-Overbeek (DLVO)将London 的 dispersion interaction 引入了他们的胶体稳定性理论。可是在这个研究中，Verwey和Overbeek发现，实验中分子之间的吸引力比1/r⁶衰减的更快，实际上应该是1/r⁷。Verwey 和 Overbeek 因此评论说，这是因为在London理论里，没有考虑相对论效应，而胶体的间距相对于特征微观尺度是较大的，需要考虑相对论修正。

    Casimir接受了这个建议，与Polder合作，重新研究了London理论，加入了相对论效应带来的所谓 retardation 效应，推导出了分子间的Casimir-Polder相互作用，是1/r⁷的色散吸引力。在得到该结果之后，Casimir进一步思考两个宏观物体之间的色散力，当他向波尔（Bohr）谈论这项工作时，波尔嘟囔着说这一定与零点能有关。受到启发后，Casimir完成了两平板之间力量的计算，得到了著名的卡西米尔力公式（1）。

（II）计算

    下面，我们不做具体的量子力学计算，而是利用标度讨论（Scaling Argument）迅速得出两个中性分子之间的色散力，包含London的 不包含相对论效应的non-retarded情况和Casimir-Polder的考虑相对论修正的retarded情况。

    让我们考虑两个体积分别为V₁和V₂的中性分子，其电子运动的特征频率是ω₀。基于标度分析，间距为r的两分子间相互作用采取如下形式：

  (2)

其中，负号是因为吸引力，r^-6是基于两个体积乘积的量纲，hω₀是体系的特征能量，c/ω₀是体系的特征距离，f(x)是一个无量纲标度函数（Dimensionless Scaling Function）用于在non-retarded和retarded两种情形之间进行过渡。

（1）在短距离时，即r<(c/ω₀)，两分子之间的信号传递时间小于特征时间，不需要考虑相对论效应，我们取f(x)=constant, 这样就得到London的结果。

（2）在长距离时，即即r>(c/ω₀)，两分子之间的信号传递时间大于特征时间，需要考虑相对论效应。此时力量应该不再依赖于表征特征时间的ω₀，为了抵消掉ω₀，我们取f(x)=1/x, 这就得到Casimir-Polder的结果: V(r)≌-hc(V₁V₂/r⁷)。

    卡西米尔物理已经远远超出了Casimir最初工作的范畴，在量子场论里，卡西米尔力产生于有约束的场论模型。这个约束可以是由外加的边界条件，也可以是在非零温的情况下，通过松原理论（Matsubara Formulation)将温度引入量子场论时带来的周期性条件约束，还可以是在处理非欧空间时（Non-Euclidean）由无边界空间的拓扑性质（Topology）引入的“Identification”约束等。另一方面，在上世纪70年代，人们认识到，作为同是处理无穷多自由度的理论，统计力学和量子场论之间有着深刻的联系，因此在统计力学中，人们也研究了由临界点序参量涨落导致的临界卡西米尔力（Critical Casimir Force），以及统计n-矢量模型中由零质量戈德斯通模（Goldstone Mode）导致的卡西米尔力。近年来，在非平衡统计力学的研究中，人们发现由体系动力学的约束，也可以在体系中带来满足幂率无标度衰减的长程关联，进而带来卡西米尔力。从这些研究中，可以看出，产生卡西米尔力的两个条件是：1.幂率衰减的长程关联；2.约束。这些进展都促使卡西米尔物理（Casimir Physics）成为一个物理丰富的有趣研究题目。