Fokker-Planck方程是研究涨落(Fluctuation)现象的重要方程和方法。由于涨落现象在自然界的普遍存在,该方程有从物理,化学,生物,乃至工程学的广泛应用。
Fokker-Planck方程最早见于处理布朗运动问题(Brownian motion)。宏观的花粉粒子(宏观小微观大)放置于水中时,经历热运动水分子(微观)的随机碰撞,导致花粉粒子的位置不确定。描述该不确定的花粉粒子位置分布函数满足一个微分方程,即Fokker-Planck方程。
本文中:1. 我们基于流守恒(current conservation)给出Fokker-Planck方程的一个快速推导;2. 我们指出Fokker-Planck算符的非厄米性,并通过变量代换将Fokker-Planck方程转化成(虚时)薛定谔(Schrodinger)方程。
1. 推导
写下涨落问题的流矢量,这是一个具有时空分量的4-矢量: j=(j0,ji), 这里,时间分量: j0=P(x,t), 是该涨落问题的概率分布函数。空间分量是熟悉的空间流3-矢量: ji, i=1,2,3.
流守恒: (1)
本问题中,3-矢量j有两部分贡献:外力贡献的drift项和微观随机涨落贡献的diffusion项。为了简化记号,下边我们考虑1维情况,即i=1=x.
Drift项: (2)
这里, \Gamma 和 U 分别是 mobility 系数(矩阵)和外势能。
Diffusion项: (3)
这里,D是扩散系数,该方程即Fick定理。
由(1)-(3),我们得到P(x,t)满足的Fokker-Planck方程:
(4)
要求无穷远时间后,P趋向定态,于是:
(5)
物理要求该分布是玻尔兹曼分布,因此有:
(6)
这是爱因斯坦关系,涨落耗散定理的一种简单形式。物理上很清楚,涨落和耗散都来自于微观自由度的随机运动,因此必然是联系的,进而,因为是热涨落,所有必然出现温度T.
Fokker-Planck方程的第一项drift速度项是随机微分方程 (Stochastic Differential Equation) 郎之万(Langevin)方程的drift项,而第二项diffusion项来自于郎之万方程的白噪声项。郎之万方程:
(7)
白噪声f满足高斯分布,有:
(8)
下边,我们把Fokker-Planck方程由单变量的(4)推广到一般多变量的形式:
(9)
这里的写法采用了爱因斯坦求和约定。
2. 从Fokker-Planck方程到Schrodinge方程
仍然采用单变量形式。我们将方程(4)写成如下算符形式:
(10)
这里定义了Fokker-Planck算符L.简单计算可得:
(11)
这里,方便起见,我们设\Gamma=1.我们注意到,由于一阶导数项\partial_x的存在,Fokker-Planck算符不是厄米(Hermite)算符。
现在,我们通过变量代换消去L算符中的非厄米项。构建一个厄米算符。
定义: (12)
其中,Ps(x) 是定态解。将定义(12)代入Fokker-Planck算符L, 我们得到:
(13)
这里的H算符: (14)
显然,H算符没有一阶非厄米项,是个厄米算符。此时,Fokker-Planck方程转化为:
(15)
这是一个(虚时)薛定谔方程。
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