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高斯函数---最接近上帝的函数精选

已有 38711 次阅读 2012-9-7 18:55 |个人分类:数学故事|系统分类:科研笔记| 热传导, 函数, 桥梁, 分布, 高斯

在所有函数里面，如果让我选择一个最特别的函数，我会选择高斯函数。而且，我将高斯函数称为最接近上帝的函数。高斯函数事实上是指形式如下的一类函数：

$ aexp(-frac{(x-b)^2}{2c^2}) $

高斯函数的确有很多特别之处，虽然我并不能够真正完全洞悉它的内在，但我依然认为它是最接近上帝的函数。

在前面的博文里，我曾经将Fourier变换比作西游记中的照妖镜。在照妖镜里仍不能现出原形的大抵只能是法力很高的东西了。而在函数群体里，高斯函数的确有这种特质：即使你用照妖镜，你看到的仍然是一个高斯函数。也就是，高斯函数的Fourier变换仍然是高斯函数。用数学的语言来说，就是高斯函数是Fourier变换的特征函数。由此可见，高斯函数在函数群体里，的确属于法力很高的一个，因此我将其称为最接近上帝的函数(如果你喜欢，你也可以称其为最接近如来佛的函数)。

如果你觉得上面的这个说法太过于“神化”，那我们就来个科学的。热力学定律被认为是宇宙的基本法则，包含了能量守恒，熵等等。当然，扯上了“熵”就会有“时间之箭”之类的。此非我专长，就此打住。描述热的传播规律当然是用热传导方程。而热传导方程的解，确是初始的温度场和高斯函数的卷积。也就是，在理想情况下，热的传导规律是由高斯函数来确定的。

如果你觉得上面的说法过于“科学”，那我们就再来个关于上帝的。上帝创造世界，一切似乎都是无规律的。各种物件的尺寸分布似乎无任何规律：如人的身高、树叶的面积、星球的大小等等。但今天我们知道，这些看似无规律的背后其实是正态分布。而正态分布的密度函数就是高斯函数。也就是说，这些表面看来毫无规律的东西，如果放在一起，就会出现高斯函数。这使得我们不由得问：难道世界的创造真是按照高斯函数来进行的吗？

如果你觉得上面的说法统统离你太远，那么就欣赏一下颐和园里的拱桥。看来中国古代建筑师也是按照高斯函数来建桥的呢：

说到这里，不妨多说几句。高斯函数的一种很好的近似是B-样条函数。当次数趋向于无穷的时候，在适当的标准化下，B-样条函数趋向于高斯函数。由于高斯函数的支集是无限的，而B-样条函数支集是有限的。因此，很多论文探讨在计算的时候将高斯函数替换为B-样条函数之后的效果。

泊松求和公式被很多数学家认为是数学里面最美的求和公式。泊松求和公式大意是一个函数在所有整数点的和等于其Fourier变换在所有整数点的和。由此可以导出无数漂亮的公式。有时间我会写一下泊松求和公式与小高斯当年计算1+2+...+100和的关系。在泊松求和公式中，我们又看到了Fourier变换。天，难道能和Fourier变换扯上关系的都会注定有贵族的血统吗？