柳渝
亚历山大·格罗滕迪克的学术方法
2022-5-25 15:00
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格罗滕迪克的深度抽象天赋在代数几何学领域里开辟了一片崭新的天地,为解决现代数学中一些令人头疼的难题提供了理论基础。


美国数学会(AMS)资深作者阿林·杰克森(Allyn Jackson)在2014年《美国数学学会通告》上有关格罗滕迪克的一篇传记文章中写道【1】:他拥有极其强大的、几乎超脱尘俗的抽象能力,这使得他能够在高度笼统的情况下看到问题所在,他把这种能力运用到了极至。的确,日益增加的普适性和抽象性趋向完全是受到格罗腾迪克的影响――20世纪中叶起,这一趋向就可以在数学领域里看到。


一个著名例子是魏尔猜想(conjectures de Weil,这是算术几何中的一组猜想,描述代数曲线上的点的个数的分析不变量。格罗滕迪克证明魏尔猜想的独特之处在于,他没有直面问题本身,而是围绕问题首先建立了一个上层理论结构,问题的解答方法随之就轻松自如地显现出来――一种让数学家同行看到破解类似猜想的一些不同思路或方式,避免用直接证明定理却不形成洞见的方式。格罗滕迪克把他的这种方式比喻为把坚果放在水里软化,以便能够像完全成熟的鳄梨那样被剥开。


格罗滕迪克在《收获与播种》中写道【2】:


以证明一个仍然是假设性的定理的任务为例(对某些人来说,数学工作似乎已经沦为了这种情况),我看到对此有两种极端的做法,一个是锤子和凿子,当所提出的问题被视为一个大的、硬的、光滑的坚果,要达到其内部,即由外壳保护的滋养的肉。原理很简单:你把凿子的切削刃顶在壳上,用力敲打。如果有必要,你在几个不同的地方重复这个过程,直到外壳破裂你就满意了。当壳有凸起或突起时,这种方法尤其诱人,在那里可以 « 拿下它"。在某些情况下,这种捡到坚果的 "位子 "是显而易见的,在其他情况下,必须在各个方向上仔细翻开,仔细勘探,才能找到攻击点。最困难的情况是当外壳是完全圆形和坚硬时。无论你怎么打,凿子的边缘都会打滑,勉强划伤表面--你最终会对这项工作感到厌倦。不过,有时你确实能做到,靠的是肌肉和耐力。

我可以通过保留需要打开的坚果的象来说明第二种方法。之前想到的第一个比喻是,你把坚果浸泡在液体中,就用水吧,为什么不呢,时不时地揉一揉,让它更好地渗透,至于其他的,就让时间来解决吧。经过几周和几个月的时间,外壳变得更加柔软--当时机成熟时,用手轻轻一碰,外壳就会像成熟的牛油果一样打开! 或者可以让坚果在阳光和雨水中成熟,也许还可以在冬天的霜冻中成熟。当时机成熟时,它就像从肉里钻出来的娇嫩嫩的嫩芽,刺破了外壳,仿佛在和自己玩耍或者说得更好,外壳自己打开了,让它通过。


几周前出现在我面前的象又不一样了,我必须了解的未知事物在我看来是一些广阔的土地或紧凑的泥灰岩,不愿意被穿透。人们可以用镐头或撬棍,甚至千斤顶去做:这是第一种方法,即 « 凿子 »(有或没有锤子)。另一个是海上的方法,海水无知无觉地前进,没有任何声音,似乎没有任何东西断裂,没有任何东西移动,水面很远,你几乎听不到它。然而,它最终围绕着抗性物质,逐渐成为一个半岛,然后是一个岛屿,然后是一个小岛,最后反过来被淹没,仿佛它最终溶入了延伸到眼睛所能看到的海洋,。。。



原文:


Prenons par exemple la tache de démontrer un théorème qui reste hypothétique (à quoi, pour certains, semblerait se réduire le travail mathématique). Je vois deux approches extrêmes pour s’y prendre. L’une est celle du marteau et du burin, quand le problème posé est vu comme une grosse noix, dure et lisse, dont il s’agit d’atteindre l’intérieur, la chair nourricière protégée par la coque. Le principe est simple : on pose le tranchant du burin contre la coque, et on tape fort. Au besoin, on recommence en plusieurs endroits différents, jusqu’à ce que la coque se casse - et on est content. Cette approche est surtout tentante quand la coque présente des aspérités ou protubérances, par où "la prendre". Dans certains cas, de tels "bouts" par où prendre la noix sautent aux yeux, dans d’autres cas, il faut la retourner attentivement dans tous les sens, la prospecter avec soin, avant de trouver un point d’attaque. Le cas le plus difficile est celui où la coque est d’une rotondité et d’une dureté parfaite et uniforme. On a beau taper fort, le tranchant du burin patine et égratigne à peine la surface - on finit par se lasser à la tache. Parfois quand même on finit par y arriver, à force de muscle et d’endurance.


Je pourrais illustrer la deuxième approche, en gardant l’image de la noix qu’il s’agit d’ouvrir. La première parabole qui m’est venue à l’esprit tantôt, c’est qu’on plonge la noix dans un liquide émollient, de l’eau simplement pourquoi pas, de temps en temps on frotte pour qu’elle pénètre mieux, pour le reste on laisse faire le temps. La coque s’assouplit au fil des semaines et des mois - quand le temps est mûr, une pression de la main suffit, la coque s’ouvre comme celle d’un avocat mûr à point ! Ou encore, on laisse mûrir la noix sous le soleil et sous la pluie et peut-être aussi sous les gelées de l’hiver. Quand le temps est mûr c’est une pousse délicate sortie de la substantifique chair qui aura percé la coque, comme en se jouant - ou pour mieux dire, la coque se sera ouverte d’elle-même, pour lui laisser passage.


L’image qui m’était venue il y a quelques semaines était différente encore, la chose inconnue qu’il s’agit de connaître m’apparaissait comme quelque étendue de terre ou de marnes compactes, réticente à se laisser pénétrer. On peut s’y mettre avec des pioches ou des barres à mine ou même des marteaux-piqueurs : c’est la première approche, celle du "burin" (avec ou sans marteau). L’autre est celle de la mer. La mer s’avance insensiblement et sans bruit, rien ne semble se casser rien ne bouge l’eau est si loin on l’entend à peine. . . Pourtant elle finit par entourer la substance rétive, celle-ci peu à peu devient une presqu’île, puis une île, puis un îlot, qui finit par être submergé à son tour, comme s’il s’était finalement dissous dans l’océan s’étendant à perte de vue. . .


参考文献:

1http://www.worldscience.cn/c/2015-02-28/583942.shtml

2https://www.quarante-deux.org/archives/klein/prefaces/Romans_1965-1969/Recoltes_et_semailles.pdf


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