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《数学原理》(Principia Mathematica)是怀特海和罗素的作品,共三卷,于1910-1913年出版。与弗雷格的《概念文字》(concept-script)一起,对现代逻辑的诞生起着决定性的作用。
一,内容
《数学原理》包括集合理论,基数和序数以及实数,更高级的实分析定理没有包括在内。最初计划出版第四卷,但没有完成。
《数学原理》试图用一种特定的逻辑符号语言,从一个定义明确的公理和演绎规则中推导出所有数学定理。
他们使用的是Peano开发的逻辑符号,尽管已经做了重新调整,以期使本书的内容更加清晰和简洁。
二,著作的重要性
“数学原理”被认为是逻辑学史上最有影响力的书籍之一,可与亚里士多德的“工具论”(Organon)相媲美,在数学基础的研究中发挥了主导作用。Godfrey Harold Hardy在对该书的评论中承认其内容的重要性,甚至写作风格,但他认为这是一本很少有人会完整阅读的书,所使用的符号可能会让大多数读者,包括数学家自己感到厌烦。
现代图书馆在二十世纪最重要的一百本英国非小说类书籍的名单中,将其列为第23位。
三,理论基础
与形式主义理论不同,《数学原理》的“逻辑主义”理论并没有“规定形式主义的语法”,这个理论的解释(在模型理论的意义上)是以真值的形式呈现的,特别是用符号 “⊢ ”(真值断言), “~ ” (非),以及 “V ”(或)。
四,形式理论的现代构建
一个现代形式系统构建如下:
1,使用的符号:这个集合是起始集合,其他符号可以创建,但只能通过起始符号的定义。一个起始集合可以是来自Kleene, 1952:逻辑符号“→ ”(蕴含,IF-THEN, ⊃),“&”(和), “V”(或), “¬ ”(非), “∀ ”(所有), “∃”(存在);谓语符号 “=”(相等);函数符号 “+ ”(算术加法), “∙ ”(算术乘法), “’ ” (后继);个体符号 “0 ”(零);变量 “a”、 “b”、 “c”等;和括号 “( )”。
2,符号串:该理论将通过连接(并列)构建符号的“串”。
3,形成规则:规定如何构建“格式良好的公式”(fbfs)。
4,转化规则:规定符号和符号序列行为的公理。
5,推理规则, modus ponens : 允许理论从“前提”中获得“结论”,并随后抛弃“前提 ”的规则(如果是水平的,则符号在线的左边│或线的上面)。事实上,在应用了论证方式后,只剩下结论。
现代理论常将 modus ponens作为第一条公理。
A, A ⊃ B │ B
符号 │ 通常用一条横线表示,这里的⊃表示“蕴含”,符号A和B是变量;这种形式的符号被称为“公理图”。这可以解读为:如果A和A蕴含B ,那么B,从而保留B供以后使用。但符号没有“解释”(即没有“真值表”、 “真值”或“真值函数”), modus ponens仅通过语法机械地进行。
参考文献:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Principia_Mathematica
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