欧拉转动笛卡尔：答网友关于欧拉角的问题

笛卡尔（1596－1650），法国数学家、物理学家和哲学家。

笛卡尔对科学最辉煌的贡献就是创立了笛卡尔坐标系，被应用于数学、物理等很多学科。

欧拉（1707－1783），瑞士数学家和物理学家。

欧拉对数学和物理的贡献很多，欧拉的欧拉角则是专门针对笛卡尔的笛卡尔坐标系。因此，可以说欧拉转动着笛卡尔。

伽罗华（1811-1832），群论奠基人（法国数学家），比欧拉晚了100多年。这似乎说明，欧拉角最早孕育了转动矩阵的思想。

笛卡尔的坐标系将千古留名，欧拉的欧拉角也将永远地转动着笛卡尔和他的坐标系。伽罗华的群论则最有效最彻底地描述了欧拉角和笛卡尔坐标系的关系。

网友问题：

1990年，我写了篇小文章，题目为《ODF的物理思想》，发表在《理化检验·物理分册》。在这篇小文章里，讲到了欧拉角、欧拉角在织构描述中的应用，还讲到了量子力学中的角动量理论。量子力学定义的欧拉空间里的一组正交完备基函数，被应用到了测量和描述材料的织构理论中，多么巧妙的应用！

1965年，两位外国学者（H．J．Bungle和R．J．Roe）几乎同时发表了关于定量描述织构（Texture）的文章，提出了ODF（Orientation Distribution Function）的概念。20年后的1986年，东北工学院粱志德教授把ODF介绍到中国，其第1篇文章就发表在《理化检验·物理分册》。

需要强调的是，ODF技术已经是轧制高级取向硅钢片的在线检测手段，可以和X射线衍射仪联机使用。ODF中第一个核心概念就是欧拉角【欧拉空间】，用一句时髦的话说，欧拉角已经通过ODF技术被转化为生产力了。^_^

凡是有晶体的地方，必然有织构的问题。例如，在（微观构造）地质学里，织构被称为组构。通过测量岩石的组构，可以判断当年生成这种组构的压力和温度。当然了，组构还有一个演化的问题。

言归正传，现在谈谈欧拉角。

欧拉角的本质是转动笛卡尔坐标系，其表达方式是五花八门。

可参见两个网站：

Euler angles - Wikipedia, the free encyclopedia

en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles - 网页快照类似结果 - 翻译此页

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The Euler angles are three angles introduced by Leonhard Euler to describe the orientation of a rigid body. To describe such an orientation in 3-dimensional ...

Proper Euler angles - Tait–Bryan angles - Relationship with physical motions

Euler Angles -- from Wolfram MathWorld

mathworld.wolfram.com › ... › Rotations - 网页快照类似结果 - 翻译此页

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The three angles giving the three rotation matrices are called Euler angles. There are several conventions for Euler angles, depending on the axes about which ...

只要真正弄懂一种表达方式，就能实现举一反N的目的。

22年前，我在《ODF的物理思想》中使用的欧拉角定义如下：

【22年来，我的使用习惯没有改变，现在描述魔方转动，用了同样的表达形式】

        实际上，图1（a）相当于坐标系OABC，图1（b）相当于坐标系OXYZ。

公式（2）描述了坐标系OABC和OXYZ的关系，其中，α、β、γ就是欧拉角。公式（2）中的欧拉角是怎么定义的呢？先把表达式（1）重写如下：

     一般地，【根据坐标系的转动就可以推导出来】

如果能在摆弄（转动）魔方的过程中体会欧拉角，那就是真正幸福的学习方法。下面给出两个PPT截图，图中有魔方、矢量、笛卡尔坐标系、矩阵等，当然也有欧拉角的一种表达式【比较表达式（6）】。

简单的方法和详细的内容，可以观看我的《魔方》课，提示如下：

http://v.163.com/special/cuvocw/mofangheshuxue.html（网易播放）

http://www.icourses.edu.cn/details/10425V002（爱课程播放）

转动矩阵的推导，出现在第2讲的约33分钟；

转动矩阵的应用【1】，出现在第3讲的约5分钟；

转动矩阵的应用【2】，出现在第4讲的始终；

转动矩阵的应用【3】，出现在第5讲的前部；

一个精彩的动画，出现在第5讲的约38分钟。

 

附录：ODF的物理思想【内含参考文献】

ODF的物理思想.pdf