8个球就可以证明“十三球问题”无【？】解

"有十三个球，其中十二个重量相同，只有一个次品不知是轻还是重了。请用天平称三次，将这个次品找出来。"

http://blog.sciencenet.cn/blog-826653-657778.html

  【博主后记】

   应老师的命题是正确的，俺的推理有问题。注意，原来的【1】到【6】的推理都没有错误。

只是在讨论【13球】时，出了问题。

    为了纪念，俺在博文的题目加了个【？】。

数学问题，第一要求应该是严谨。严谨到毫无讨价还价的余地。

13个球，只有1个次品。

次品定义：不知道这个次品是轻了还是重了。

这就得到一个推论：在2个球中，如果有1个是次品，用天平无法判断出次品。

“称三次”，不能超过3次使用天平。

在这样的数学前提下，“十三球问题”（称球问题）无【？】解。

【1】2个球（A球和B球）

如果只有两球，其中有一个次品，不知道是轻了还是重了，天平能确定出次品吗？

不能。

     A球―――――――――――――B球

                                   △

    A和B失衡，因为不知道次品是轻了还是重了，因此无法判断出谁是次品！

【2】3个球（A球、B球和C球）

     A球―――――――――――――B球

                                 △

如果A和B平衡，证明A和B是正品，则可判断出次品就是C。

如果A和B失衡，证明次品就在A和B中，需要再称一次才能判断出是A还是B。

结论：3个球需要称2次。

【3】4个球（A球、B球、C球和D球）

情况1：

     A球―――――――――――――B球

                                   △

如果A和B平衡，证明A和B合格，次品是C或D。

再称一次就可以判断出C和D谁是次品。

情况2：

     A球―――――――――――――B球

                                  △

     如果A和B失衡，证明次品就是A或B，由此可判断出C和D是正品。需要再称一次，才能判断出A和B谁是次品。

结论：4个球需要称2次。

【4】5个球（A球、B球、C球、D球和E球）

情况1：

     A球―――――――――――――B球

                                   △

     如果A和B平衡，证明A和B是正品，则可判断出次品在C、D、E中。

C、D、E三个球中有次品，这正是“3球问题”，仍需要称2次才能判断出次品。

    因此，这种情况需要称3次才能判断。

情况2：

     A球―――――――――――――B球

                                  △

如果A和B失衡，证明次品就在A和B中。需要再称1次就可以判断。

结论：5个球需要称3次。

【4】6个球（A球、B球、C球、D球、E球和F球）

情况1：

     A球―――――――――――――B球

                                     △

如果A和B平衡，证明A和B合格，则可以判断出次品在C、D、E、F中，这就使问题归纳为“4球问题”，需要再称2次才能判断。

情况2：

     A球―――――――――――――B球

                                   △

如果A和B失衡，证明次品就在A和B，再称1次就可以判断A和B谁是次品。

结论：6个球需要称3次。

【5】7个球（A球、B球、C球、D球、E球、F球和G球）

情况1：

     AB球―――――――――――――CD球

                                       △

如果两边平衡，证明这4个球是正品，则可以判断次品在E、F、G中，这就使问题归纳为“3球问题”，需要再称2次才能判断。

情况2：

     AB球―――――――――――――CD球

                                      △

如果两边失衡，证明次品就在ABCD中，这就把问题归纳为“4球问题”，需要再称2次才能判断出次品。

结论：7个球需要称3次。

【6】8个球（A球、B球、C球、D球、E球、F球、G球和I球）

情况1：

     AB球―――――――――――――CD球

                                    △

如果两边平衡，证明这4个球是正品，则可以判断次品在E、F、G、I中，这就使问题归纳为“4球问题”，需要再称2次才能判断。

情况2：

     AB球―――――――――――――CD球

                                    △

如果两边失衡，证明次品就在ABCD中，这就把问题归纳为“4球问题”，需要再称2次才能判断出次品。

结论：8个球需要称3次。

    关于“13个球问题”：

"有十三个球，其中十二个重量相同，只有一个次品不知是轻还是重了。请用天平称三次，将这个次品找出来。"

情况1：

     4个球―――――――――――――4个球

                                     △

如果以上这8个球平衡，证明次品就在剩下的那5个球中。

在5个球中找到次品需要称2次，因为有1个正品来对比。

情况2：

     4个球―――――――――――――4个球

                                   △

如果以上这8个球失衡衡，证明次品就在这8个球中。

【后记】：

 如果失衡，第一个天平可以给出一个表达式，结合这个表达式，可以解决

在8个球中找到次品的问题，只需要2次。

结论：

4+4+5摆放球，称量3次可能从13个球中找到哪个次品。

谢谢网友的批评指正。

【最后记】：幸亏俺是老老实实地讨论问题，没有使用感情动词。