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数
中国科学院 力学研究所 吴中祥
提 要
具体分析:数是,从何而来?如何演变、发展?各种数,包括0、无穷大和无穷小,等特殊的“数”有何重要的实际意义?
关键词:各种数,演变发展,实际意义,
1.数从何而来?
数是从一切实际事物,及其所有的特性和运动规律,都必有的“数量”和“顺序”,抽象出来的特性。
数本身有它本身的各种特性和变化、演变规律。
从而产生出各种不同的数,又都有它们本身的各种特性和变化、演变规律。
各种数的这些特性和规律,就都决定了相应的一切实际事物,及其所有的特性和运动规律,都有的数量和顺序,的特性和规律。
研究任何实际事物的特性和规律,就都需研究与其彼此相互依存、协调一致的,相应数的相应特性和规律。
2.数的基本特性
数最基本的特性是可数性、可列性。
数是从一切事物中抽象出来的,它的可数性、可列性也正是联系到各种事物本身的可数性、可列性。
任何事物是否可数?就必须具有如下两个基本条件:
(1)它们必须是同类的事物。
(2)必须确定同一的单位。
当然,有时也可将某些事物,甚至是不同类的事物,组配成“套”、“团”或“堆”,作为“单位”,这类成“套”、“团”或“堆”的相应事物,就也按此“单位”而可数了。
(3)各种数本身却又是与事物的种类、性质、单位都无关
既已抽象为数之后,各种数本身就与事物的种类、性质、单位都无关,它们所表达的事物种类、性质、单位等等都需另外注明。
任何事物怎样才是可列的?
只有该事物是可数的,而且确定了它们的排列顺序的基本类别,例如:数值、体积、重量、大小,先后、高低、好坏,等等之后,才是可列的。
对于数本身,一般就只是分别对同类的数,相同的单位,按数值大小的排列顺序,才是可列的。
对于不同类的数,甚至某类不同单位的数,也是不可列的。
当然,全部实数或虚数,因可分别按同一的单位,确定其相应各数大小的顺序,而在,整个实数轴或虚数轴上可列了。
3. 各种数的产生和发展
(1) 从1到自然数、到包括无穷大和最大的正整数、到正和负的整数
只要有了“单位”,就有了“1”。
从“1” 开始,按加法,逐个增加“1”,只要仍是有限的,就产生了,各个“自然数”,即可按其顺序,表达其数值为:1、2、3、…、n。
当继续不断地逐个增加“1”,无限地增加,就产生了“无穷大”,即:“要多大就有多大,但只要能继续增加,就不会有最大”,直到“不能再增”,就是,也才是,“最大”。
这样产生的“无穷大”和“最大”当然还是数,而且是“正整数”,但是,就已不是“自然数”。
由“正整数”的减法,逐个减少“1”,到同等大小的数相减,就产生了“0”。
被减数小于减数,就产生了各个“负整数”乃至“负无穷大”、“负最大”。
“0”,和这样,产生的各负数,也都是整数。
而各种整数就有了正、负之分。
(2)大数的表达,进位制:
当数值很大时,就需要一个简便的表达方式,这就创造出各种进位制。即,将“m位”的“s进位”的数,n,表达为:
n=nj;j=m,m-1,…, 2,1;m=(n-(nj;j=m-1,m-2,…, 2,1的数串)/s);的数串。
对于,通常采用的“10位制”,其各位数,nj;j=m,m-1,…, 2,1,都只是,9、8、7、6、5、4、3、2、1、0,这10个数中的一个。
对于10进制,有n位的各整数可表达为:
nn[1,n]+n(n-1)[1(n-1)] +n(n-2)[1(n-2)]+…+n2[1,2]+n1,
其中,[1,j]=第j位数的单位1,它的数值是10^j;nj=第j位数的数值,它的数值只是: 0,1,2,…,或9。
但是,计算机因都是只能采用多个电子管的“开”与“关”2种选择的组合,来计数,而只能是以其各位数,都只是,1、0这2个数中的一个的“2位制”为基础的组合:“2^n+2^n'位制”,而“10位制”就由“2^3+2位制”表达。
(3) 从加法演变、发展出乘法、乘方、开方、指数、对数、无理数
可用字母表达数就产生了代数。
加法,每次,不仅只加 1 ,而可以加任何的数,a。
数 a连续加,b,次,就是:乘法:a 乘 b。
数 a连续自乘b,次,就是:乘方:a ^ b。
数 a,就是:乘方,a ^ b=c 的c开b 方;也就是 c 的对数。
数 b,就是:乘方,a ^ b 的指数。
开方,而不能消除根号的,就产生了“无理数”。
(4) 奇数、偶数,及等差数列的产生
从 2 开始,按加法,逐个增加2,就产生,各个偶数,可顺序,表达
为:2n。不断逐个无限地增加2,就产生,无穷大偶数。
从 1 开始,按加法,逐个增加2,就产生,各个奇数,除1外,可顺
序,表达为:2n+1。不断逐个无限地增加2,就产生,无穷大奇数。
它们,当然,也都是整数,而且,都是正整数。
而且,有不是自然数的,无穷大偶数和无穷大奇数。
从首项P0开始,以步长s,逐次连续相加u次,得到的u+1个数,即pt=p0+st; t=0,1,2,…,u,的系列,就是:等差数列。
当首项P0与步长s,都是任意的整数,u就可以趋于无穷大,而得到无穷长等差数列。
当首项P0为奇数,步长s,为偶数,则等差数列的各项都是奇数。u也可以趋于无穷大,而得到无穷长,无穷大末位数的奇数等差数列。
当首项P0与步长s,都是偶数,则等差数列的各项都是偶数。u也可以趋于无穷大,而得到无穷长,无穷大末位数的偶数等差数列。
(5)除法,及其产生的分数、小数、合数、素数
由除法,其商不能得出整数的,就产生了“分数”。
被除数小于或大于除数,就产生了“真分数”或“带分数”。
按10进制,就产生了“小数”,其小于1的部分形成循环的,就是“循环小数”,无限循环的,就是“无限循环小数”。
有些“分数”可以等于相应的“小数”,有些“分数”只能趋近于但并不等于相应的“小数”。
可被或不可被“2”整除的整数,就也区分为“偶数”或“奇数”。
任何数被1除,都=其自身,任何数被其自身除,都=1,
除“1”和其自身外,可被或不可被整除的整数,就区分为“合数”或“素数”。
素数不能简单地顺序表达并确定各素数数值,而出现一些有关的难题。
利用“小于某素数的所有素数都不能整除它”,的特性,本博客创建采用整数m,以顺序表达各素数 j(m) ,即:
j(m)/j(m-k); k=1,2,…,m-1,都不是整数,就可以表达并顺序,m,确定各素数的数值,j(m)。
这样,我们就知道:m=1,j(1)=2, 而m=2,j(2)=3, 就是奇数, m=和>2时,若取j(m)+1,就都能被2整除,而必然不是素数。因而,完全可以:对j(m)逐次+2,直到j(m)+2s时,(j(m)+2s)/j(m-k); k=0,1,2,…,m-1,都不是整数,而判定j(m)+2s是j(m+1)。
如此,就完全可以按序数,m,列表,具体确定各个素数,j(m),的数值,例如:
m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15,…,无穷大
j(m) 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47,…,j(无穷大)
直到m=无穷大,j(m)= j(无穷大),即:无穷大素数。
(6)“无穷小”,及相应的“无穷大”的产生,及其与有限数的相互关系
古人已知:“1尺之槌,日取其半,永世不竭。”,即:1连续地被2除,会得到,愈来愈小,要多小就有多小,但始终不会=0,的“无穷小”。即:较小的数被较大的数连续的除,就产生了各种的“无穷小”。
这样产生的无穷小、无穷大、等,都可以不限于整数
(7)无穷小、0、无穷大、等,特殊的数,有特殊的运算规则
无穷小、0、无穷大、等,都是特殊的数,它们的运算规则,与通常有限数,
不同。例如:
有限数被无穷大除,也=无穷小。有限的数被“最大”除,就=0。
有限的数被无穷小除,也=无穷大。有限的数被0除,就=“最大”。
无穷大加或减或乘有限数,仍=无穷大。
0 加或减有限数a,仍=有限数a。
0 乘有限数a,总是=0。
(8) 常数、变数、函数,以及微分、偏微分
还有常数、变数、函数等等的数。
微小的变数、函数乃至相应的“无穷小”还形成相应的“微分”。
各种数都有相应的各种运算规则。
而由事物的相应的变化规律,形成各种代数、微分和偏微分方程式。
4. 那些特殊的数与其它的各种“数”,同样,对实际问题有重要作用
那些特殊的数也都与其它的各种“数”一样,在实际事物中,显示出重要作用。例如:
一切物体的中心位置,不论是时轴或3个空间轴,就都可以用,0,来标志。
按相对论,距中心的4维时空距离就可以用4维时空距离矢量的模长,(-(ct)^2+r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2),来表达。
当其时轴分量的模长趋于,而不=,0,ict就是无穷小,相应的3个空间分量的模长 (r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2),就趋于,而不=,在确定距离的模长,(-(ct)^2+r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2),条件下,的极大,就是在此条件下的无穷大。
反之,当其3个空间的模长趋于,而不=,0,(r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2),就是无穷小,相应的时轴分量ict就趋于,而不=,在确定距离的模长,(-(ct)^2
+r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2),条件下,的极大,就是在此条件下的无穷大。
当其时轴分量的模长=0,ict就是=0,相应的3个空间分量的模长 (r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2),就=在确定距离的模长,(-(ct)^2+r1^2+r2^2+r3^2
)^(1/2),条件下,的极大。
反之,当其3个空间的模长=0,(r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2)就=0,相应的时轴分量ict就=在确定距离的模长,(-(ct)^2+r1^2+r2^2+r3^2)^(1/2),条件下,的极大。
任何粒子(包括实物粒子和光子)的运动速度的模长:
v=(-c(3)^2+v(3)^2)^(1/2)
v(3) =该粒子在该介质中,3维空间速度的模长。
c(3)=光子在该介质中,3维空间速度的模长。
任何粒子(包括所有在该介质中,3维空间速度小于光子的粒子和光子)的运动质量:
m=m(0)/(1-(v(3)/c(3)^2)^(1/2)
m(0)=该粒子的静止质量。
v(3)=该粒子在该介质中,3维空间速度的模长。
c(3)=光子在该介质中,3维空间速度的模长。
因所有粒子,都在时空运动,且都不可能有无穷大的力作用,其运动质量必不=0,也不能=无穷大。
对于所有在该介质中,3维空间速度小于光子的粒子:
(1-(v(3)/c(3)^2)^(1/2)都不=0,因而,m(0)必不=0。
对于光子:v(3)=c,(1-(v(3)/c(3)^2)^(1/2)=0,只有m(0)=0,才能合理地,使m不=无穷大。而m=0/0就=任何有限数,仍有意义,但其数值不能由此公式确定。而需,也可,利用大量同种光子集体表现或统计效应的波长或频率求得,即:m=h(频率/2派)/c(3)^2),其中,h是普朗克常数。
又例如:物体连续性的确切定义:
对于任何随某个参量, x, 变化的某种一一对应的特性,y= f(x), 的2维事物。x就是变量,y=f(x) 就是函数。只能讨论存在一一对应的变量与函数,是否连续?
如果有两个一一对应的无限小,a 和b,当x趋近于c时,存在并且=对应的f(c),x 改变a;则f(x)改变b,就称:x = c 时,f(x) 连续。
对于任何随某n个参量, x1、x2、…,xn, 变化的某种一一对应的特性,y= f(x1、x2、…,xn), 的n+1维事物。x1、x2、…,xn,就是变量,y=f(x1、x2、…,xn) 就是函数。只能讨论存在一一对应的变量与函数,是否连续?
如果有n+1个一一对应的无限小,a1、a2、…,an 和b,当x1、x2、…,xn趋近于 c1、c2、…,cn时,存在并且=对应的f(c1、c2、…,cn), x1、x2、…,xn 改变a1、a2、…,an;则f(x1、x2、…,xn)改变b,就称:x1、x2、…,xn = c1、c2、…,cn 时,f(x1、x2、…,xn) 连续。
但是,对于某些实际情况,例如:化合物、合金、溶液等整体的连续性,所取的任意小就可以不必真正趋近于0,而实际上,只需趋近于稍大于其中各原子的尺度,或视觉上近于0,即可。
对于各种事物的各种特性,对应的x 可以是时间、长度、体积,甚至速度、温度等等不同的量。就都类似地相应反映各该事物该特性对于这些量相应的连续性。
对于各类不同的“数”,就要考虑到,例如:有理数(整数、分数(小数、循环小数))、无理数、实数、虚数、复数等等。而且所有的正、负实数,都包括,全部有理数和无理数相互穿插,按数值大小顺序排列地表达在一个实数轴上;所有的正、负虚数,包括顺序排列的全部虚有理数和虚无理数,也都可包括,全部有理数和无理数相互穿插,按数值大小顺序排列地表达在一个与实数轴正交的虚数轴上;而全部相应的复数,就是此实数轴与虚数轴所组成的平面上相应的各点。
考虑“数”的连续性,对实数轴与虚数轴所采用的任意小就必须是真正趋近于0才行,因此,只能对全部实数、虚数、复数(可视为实数与虚数组成的2维数)进行,而不可能分别对有理数(或整数、分数(或小数)或无理数进行。
这就可见:0、无穷大和无穷小,等特殊的“数”及其运算规则,和使用方法,与其它的各种“数”有显著不同,但是,都一样地,对解决实际问题有着非常重要的作用。
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