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一些特殊的数的一些规律性
0、“无穷小”(即在一定条件下,要多小就有多小,乃至趋于0,但始终不=0)、“极大”(即在一定条件下,最大的数)和“无穷大”(即在一定条件下,要多大就有多大,乃至趋于极大,但始终不=极大)是一些特殊的数它们的4则运算与通常的数都不相同。例如,对于通常的数,A,有:
A+0=A,A+无穷小~A,A-0=A,A-无穷小~A,A乘0=0,A乘无穷小~0,A除0=无穷大,A除无穷小~无穷大,
0无正、负之分别,其与通常任何数的4则运算结果的正负,都由其它数的正负决定。
无穷小、极大、无穷大都与其它数一样有正、负之分别,其与其它任何数,除0而外,的4则运算结果的正负都由其它数的一样,仍按正正为正,负负为正,正负为负,负正为负。
任何通常正、负数A、0、或无穷小+正无穷大、或极大,都=正无穷大、或极大。
任何通常正、负数A、0、或无穷小+负无穷大、或极大,都=负无穷大、或极大。
任何通常正、负数A、0、或无穷小-正无穷大、或极大,都=负无穷大、或极大。
任何通常正、负数A、0、或无穷小-负无穷大、或极大,都=正无穷大、或极大。
任何通常正、负数A、0、或无穷小除无穷大、或极大,都=0,
任何通常正、负数A、除0,都=无穷大、或极大,
任何有限数多次,除无穷大,使得0逐次产生更高的级别。
任何有限数多次,除0,使得无穷大逐次产生更高的级别。
任何有限数除(n级0)=n级无穷大。
任何有限数除(n级无穷大)=n级0。
n级无穷大除(n’级0)=(n+n’)级无穷大。
n级0 除(n’级无穷大)= (n+n’)级0。
(n级0) 乘 (n级无穷大)=(n级无穷大) 乘 (n级0) =任何有限数。
关于连续性
对于任何随某个参量, x, 变化的某种一一对应的特性,y= f(x), 的2维事物。x就是变量,y=f(x) 就是函数。只能讨论存在一一对应的变量与函数,是否连续?
如果有两个一一对应的无限小,a 和b,当x趋近于 c时,存在并且=对应的f(c),x 改变a;则f(x)改变b,就称:x = c 时,f(x) 连续。
对于任何随某n个参量, x1、x2、…,xn, 变化的某种一一对应的特性,y= f(x1、x2、…,xn), 的n+1维事物。x1、x2、…,xn,就是变量,y=f(x1、x2、…,xn) 就是函数。只能讨论存在一一对应的变量与函数,是否连续?
如果有n+1个一一对应的无限小,a1、a2、…,an 和b,当x1、x2、…,xn趋近于 c1、c2、…,cn时,存在并且=对应的f(c1、c2、…,cn),x1、x2、…,xn 改变a1、a2、…,an;则f(x1、x2、…,xn)改变b,就称:x1、x2、…,xn = c1、c2、…,cn 时,f(x1、x2、…,xn) 连续。
但是,对于某些实际情况,例如:化合物、合金、溶液等整体的连续性,所取的任意小就可以不必真正趋近于0,而实际上,只需趋近于稍大于其中各原子的尺度,或视觉上近于0,即可。
对于各种事物的各种特性,对应的x 可以是时间、长度、体积,甚至速度、温度等等不同的量。就都类似地相应反映各该事物该特性对于这些量相应的连续性。
对于“数”,就要考虑到各类不同的“数”,例如:有理数(整数、分数(小数、循环小数))、无理数、实数、虚数、复数等等。而且所有的正、负实数,都包括,全部有理数和无理数相互穿插,按数值大小顺序排列地表达在一个实数轴上;所有的正、负虚数,包括顺序排列的全部虚有理数和虚无理数,也都可包括,全部有理数和无理数相互穿插,按数值大小顺序排列地表达在一个与实数轴正交的虚数轴上;而全部相应的复数,就是此实数轴与虚数轴所组成的平面上相应的各点。
考虑“数”的连续性,对实数轴与虚数轴所采用的任意小就必须是真正趋近于0才行,因此,只能对全部实数、虚数、复数(可视为实数与虚数组成的2维数)进行,而不可能分别对有理数(或整数、分数(或小数)或无理数进行。
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