陈立群
准周期环面破裂 (中条)
2024-4-20 22:57
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准周期环面破裂(quasiperiodic torus breakdown)是系统由静止或周期运动,经过准周期运动失稳而出现混沌的过程。

 

考虑一个处于平衡状态的系统,当参数变化超过某一临界值后出现霍普夫分岔,系统状态变为周期运动;令参数继续变化,系统分岔出现由极限环耦合而成的环面,若两个极限环对应的周期运动的频率不可有理通约,则系统作准周期运动;参数的进一步变化可能导致对应准周期运动的环面破裂而出现混沌。

 

人们对准周期环面破裂而进入混沌这一途径的认识有不断深化的过程。1944年,L. D. 朗道 (Landau) 在研究湍流机制时猜测无穷多次霍普夫分岔会导致无数多频率的准周期运动而形成湍流。1948年,霍普夫提出了类似的理论但数学处理方面更严格些。朗道和霍普夫所讨论的都是无穷多频率的运动,完全没有涉及初值敏感性。1971年,D. 儒尔勒 (Rulle) F. 塔肯斯 (Takens) 证明了如下结果:只需要4次霍普夫分岔形成的准周期运动就可以逼近混沌运动;具有4个不可有理通约的准周期运动一般不稳定,受扰动后可能转变为混沌运动。1978年,S. E. 纽豪斯 (Newhouse)、吕埃尔和塔肯斯进一步将结果改为具有3个不可有理通约的准周期运动不稳定而导致混沌运动。同年,H. L. 斯文尼 (Swinney) J. P. 郭勒伯 (Gollub) 在同轴内外两个转动柱体间流体实验中发现,仅有2个不可有理通约的准周期运动不稳定可直接导致混沌运动。1983C. 格列鲍吉 (Grebogi)E. 奥特 (Ott) J.A. 约克( Yorke) 证明了具有3个不可有理通约的准周期运动一般稳定,进而提出了2次分岔进入混沌的途径。1982年以后,M. J. 费根鲍姆 (Feigenbaum) 等还以圆周映射为例,用重整化群分析揭示了准周期环面破裂产生混沌途径的普适性特征。

 

分析进入混沌的途径,动态地考察系统随着参数变化而呈现混沌振动的过程,是非线性动力学研究的重要课题。在理论上,研究产生混沌的途径有助于深化人们对混沌出现过程的认识,明确混沌出现的机理;在实践中,发现产生混沌的途径也是识别混沌,特别是区分混沌运动与随机运动的有效方法。对于出现往复非周期不规则运动的系统,如果随着参数的改变呈现出产生混沌的途径,则一般可以认为该系统是混沌运动而非随机运动。目前研究较多的三种产生混沌的基本途径是:倍周期分岔、准周期环面破裂和阵发性。这三种途径的存在已得到数值计算的验证和实验室实验的证实。对于具体的系统,这三种产生混沌的途径可能共存。此外,由于混沌运动的复杂性,还存在其它产生混沌的途径。对于出现往复非周期不规则运动的系统,如果参数的改变并没有出现生产混沌的途径,并不能因此断定系统不作混沌运动。

 

 

力学百科条目:小引

 

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《中国大百科全书(3版网络版)》“准周期环面破裂

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