科学网-斯梅尔马蹄映射(中条)-陈立群的博文

斯梅尔马蹄映射(中条)

2023-6-8 22:55

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斯梅尔马蹄映射是一类有无限多周期点和有界非周期点的结构稳定的可逆光滑映射，简称斯梅尔马蹄。

20世纪60年代，S. 斯梅尔为理解几个非线性微分方程所具有的初值敏感性，对正方形定义了如下的映射f：首先沿水平方向压缩并沿垂直方向拉伸正方形S，然后弯曲得到马蹄形状的集合f(S) (见图)。将马蹄集f(S)与正方形S取交集，接着对该交集(即两个矩形条)继续进行压缩、拉伸和弯曲的变换，并持续进行下去。正方形S经过无限次变换和逆变换的像的交集S是斯梅尔马蹄映射的不变集。该不变集S具有下列性质：(1) 周期性。S包含任意长周期的周期轨道的可数集。(2) 非周期性。S包含有界非周期轨道的不可数集。(3) 稠密性。存在一条可以任意接近S的每一点的轨线。(4) 鲁棒性。映射受小扰动时不变集S仍存在。(5) 有分形特性。S类似康托集，为不可数、非联通完备集。斯梅尔马蹄映射的定义可以推广到高维情形。

斯梅尔马蹄映射.jpg

斯梅尔马蹄变换及其不变集

斯梅尔马蹄映射不变集的上述性质意味着存在初值敏感性，因此可能出现混沌现象。可以证明，横截同宿点伴随着斯梅尔马蹄映射出现。需要说明的是，斯梅尔马蹄映射只有复杂的不变集，在实验或仿真中的混沌现象，还需要这种不变集有吸引性，并且有充分大的吸引盆。因此，斯梅尔马蹄映射并不必然意味着有物理上可以观测到的混沌现象。