暑期学校已经结束。
这几天都忙着分享在美国的生活体验，还没有机会跟大家讨论本次来美国真正的主题。利用这次机会，跟大家聊聊康奈尔的概率暑期学校。
康奈尔概率暑期学校已经办了六届（含本次），每一次主办方会确定一个主题，然后邀请该领域最权威的若干位专家为来自世界各地的概率研究学子授课。本次暑期学校确定的主题是“热核估计”。
热核估计(heat kernel estimation)，字面理解就是针对“热核”这个量做一些上下界的“估计”。首先什么是热核？数学中很多领域都关心热核，粗略来讲，它就是一个以时间和空间为自变量的函数，所以在一定物理背景之下，热核能表征一个沿着时间变化的量，在不同区域的取值。这里我介绍两个引入热核的角度：1）偏微分方程：热核就是热方程的基本解。换句话说，热核表征了不同时间，热（温度）在区域内的分布；2）概率论：热核对应了某个随机过程（马氏过程）沿着时间变化的概率密度。所以，热核在偏微分方程和概率论中都处于非常核心的地位。但是可惜的是，准确算出热核在绝大多数情况下是不太可能的，因此关于热核的大部分工作都是期望给出热核比较精细的上下界估计。大家熟悉的丘成桐教授早年也做过热核估计方面的工作。当然热核的概念现在变得更加广泛。比如在图，甚至是随机图上，我们同样可以定义类似的热核，然后给予它相应的估计。
那热核估计在概率中的用处有哪些。比如，大家关心图上随机游动的常返性或者两个随机游动的相遇问题。而在相应的热核估计问题得到解决之后，常返性问题就往往是直接的推论。总而言之，热核刻画了随时间变化的转移密度，原则上说，对转移密度的刻画是对过程最直截的刻画。加上研究热核的过程中，会联系多个重要的数学分支，所以热核估计问题是不折不扣的“好”数学。据说，Perelman在证明poincare 猜想的工作中，就用到了热核估计方面的一些内容。
当然，我本人离热核估计的研究相距甚远，热核估计又是一个很深很广的领域，很多细致的东西很难在此跟大家讲明白，大家有兴趣可以参阅本次暑期学校的网页http://www.math.cornell.edu/~cpss/，至少可以领略多位从概率角度讨论热核的顶尖专家。
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