刚刚参加完纪念许宝騄先生诞辰一百周年的概率统计研讨会。于是产生一个想法,结合会议情况,跟大家聊一些概率论中的一些具体问题。
大家知道,在一般的物理世界中,运动有两类形式:一类是连续轨道运动;另一类则是不连续轨道运动,也就是常说的带跳的过程。我们撇开数学里面很精细的东西,用很朴素的观点来看,这两种运动都是很自然的。有的时候,把一种运动看成是连续的还是带跳的,要依赖“观测”条件。比如经典物理,我们常常把运动处理成连续轨道运动;但到了微观物理,基于观测的限制,理论上时常把运动处理成离散带跳的运动。当然,这倒不是说微观运动就一定要处理成离散的,宏观运动就一定是连续的。很多时候,要看问题本身的特点。
在概率论中,研究的最多的有两个基本模型。一个是大家熟悉的布朗运动,它是典型的连续过程,只是说在随机因素的干扰下,它的轨道看起来并不光滑,而是有些杂乱无章的,但它的轨道毕竟还是连续的。基于布朗运动,概率学家发展了一套完善的理论,我们叫它随机分析。另一个过程叫做泊松过程,我想知道它的朋友也很多。一般,我们介绍泊松过程都是从数数讲起。比如,我们说,医院的接诊台接待的患者人数,一般会假设它服从一个泊松过程。这种计数过程当然是“带跳”的,跳一步,就相当于计数的时候加一。
所以,建议想学随机过程的朋友,从这两个过程学起。然后逐步学习更加深入的随机过程。
从研究来看,我们刚才讲到基于布朗运动的随机分析理论是较为完善的。相应地,带跳的过程相对难研究一些。举个不恰当的例子,就比如大家研究常微分方程会觉得容易一些,而研究差分方程就要吃力一些。道理是类似的。(当然不要误解说随机分析就容易做)
在本次纪念会议中,有好几位老师的报告题目是介绍“带跳”的随机过程。从一个侧面反映,人们迫切希望知道关于带跳随机过程更多的信息。这里大家不要小看了“跳”,数学中刻画的跳可以是非常复杂的跳跃,甚至都无法给出直观的形象。在带跳的过程中,一类叫做Levy过程的研究是最为充分的。Levy过程是很大一类过程,它不仅包括了很多带跳的过程(如泊松过程),也包括布朗运动,只是现在概率学家更多的是在借助这套理论研究带跳的Levy过程。我想,熟悉金融工程的朋友都接触过Levy过程,它的应用还是非常广泛的。
总结来看,我们将随机过程按照轨道进行分类,是基于非常朴素的观测。从研究手法上说,这样的分类也是有道理的。还是想重申的是,将一个运动当作何种轨道进行处理,要看研究对象而定,而且有时候是一件主观的事情。比如,在金融数学当中,研究资产定价的多是基于布朗运动和随机分析;而保险行业则更多的采用带跳的过程。这里,我只是希望想学习和了解概率论的朋友,从轨道层面对随机过程做适当的区别对待,并且建议从布朗运动和泊松过程起步。
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