相比于中心极限定理，不变原理就属于概率论比较专门的内容了。不过有意思的是，钱敏平和龚光鲁教授的那本《应用随机过程》的教材上有不变原理的介绍。所以，在这里介绍一点不变原理的内容，相信大家也能接受。当然是不变原理很粗浅的内容，深入的内容我自己也不太了解，有兴趣大家可以查阅Donsker Theorem或者functional CLT的相关内容。

大家都知道Brownian运动，也知道随机游动（random walk）。大家或许也知道，这两种随机过程其实很类似。只不过，一个是连续时间、连续状态空间，另一个是离散时间、离散状态空间。有许多很本质的结论，这两种过程都有共性，可以把他俩看成一对兄弟。所以很多时候，做应用问题的时候，很多学者甚至不大区分，比如在做布朗运动的问题时，往往用随机游动去做相应的随机模拟。反过来，由于布朗运动有比较强大的分析工具（比如Ito 公式），所以也有学者把随机游动的问题转化到布朗运动去做。

但是，刚刚的做法只是“看起来”可行，背后的数学依据是模糊的。而不变原理就是从数学上，严格说明了这种对应在何种意义下才对。问题的关键，用数学的语言讲，就是做怎样的“scaling”，即空间和时间的尺度变换，使得离散时间和离散空间的随机游动逼近到连续时间和连续空间的布朗运动。

具体内容大家直接搜索wiki百科的Donsker Theorem。

不变原理在数学上可以看成是泛函中心极限定理，比普通中心极限定理的内容更广更深。在概率论中，有一大块内容是在研究随机过程的构造问题，这类问题往往是应用学者不关心的，但在纯概率论领域中，却是最为核心的内容，因为不解决构造问题，就没有严格的概率空间基础，进而后续问题就无从谈起。而不变原理就是一个强大的构造工具。

历史上，布朗运动的构造问题一直是个很重要的问题。到目前，布朗运动已经有了多个构造方法，利用不变原理，通过随机游动的极限构造布朗运动，是其中相对直观的一种构造。

 

 

转载本文请联系原作者获取授权，同时请注明本文来自周达科学网博客。
链接地址：https://wap.sciencenet.cn/blog-219728-247499.html

上一篇：中心极限定理之三
下一篇：中心极限定理之五