弦切角定理的逆定理——答scrat233 博友
2016-5-6 21:03
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标签：尺规作图, 弦切角定理逆定理
弦切角定理的逆定理——答scrat233博友
这段时间到处瞎忙，几乎荒废了科学网博客......
今天收到scrat233博友的留言，忽然来了兴致——兄弟我素来对“神圣的平面几何”没有抵抗力，这种简洁的模式里蕴含着神性！
由于留言系统无法上传图片，只好小题大作，草就一篇，贻笑大方。
博友的留言如下：
李老师好，我平时喜欢尺规作图，头几天做出一道题，但证明不了，已困扰多日。题目：三步尺规做，过已知圆1上一点A的切线。
我的解法：
一、以圆1上任意点（不包括A，以及过A的直径点A`）为圆心，过点A做圆2，交圆1于B点；
二、以A为圆心，过点B，做圆3交圆2于C；
三、连接AC，得到切线。
按照兄弟我的个人习惯，我将作图步骤的表述修改为如下：
一、取圆O1上的任意点O2(不包括A与A在圆O1上关于圆心O1的对称点)，连接AO2。以O2为圆心，O2A为半径作圆O2交圆O1于B，连接AB，；
二、以A为圆心，AB为半径作圆A交圆O2于C；
三、连接AC，求证AC为圆O1的一条切线。
兄弟我用几何画板作了个示意图：
需要申明一点：这个问题的前提应该是圆O1圆心的位置未知。否则不必如此大费周章，直接连接圆心与切点延长作垂线即可。故而在证明过程中也不能使用圆O1圆心位置的任何信息。
现在简单说明一下证明思路：
1，连接O2B和O2C，易证等腰三角形AO2B和等腰三角形AO2C全等；
2，易证角ABO2=角O2AC，可直接使用弦切角定理的逆定理得证AC为圆O1的一条切线。
附记
如有需要可以先证明弦切角定理的逆定理作为引理备用，证明思路如下：
以上......
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