说明:因杨六省老师之邀,先后将其《对初中数学教科书关于√2不是有理数证明的质疑》、《又一新的证据再次表明——毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明是无效的》、《人教社中学数学编辑室的回复缺乏说服力》、《杨六省:质疑文兰先生关于√2不是有理数的证明》、《对毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明的6点质疑》、《数学界现代版指鹿为马——‘√2= p/q(p,q互质)’是‘√2不是有理数’的反论题?》、《在毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数的证明中隐藏着一个“复杂问语”的谬误》、《√2不是有理数的两个广为流传的无效证明》以及《通过举反例加深对反证法两个要点的准确理解》等相关质疑论述进行了转载,分别已经有数百或者数千人次的点击量。2021年9月29日杨六省老师又寄来新作——《对文兰悖论的消解》,邀请转载,因我本人对数学一窍不通,仅仅出于帮助开展学术讨论,明辨是非,弄清正误之目的,再次将其转载于下,敬请数学行家进行评议,也可以直接与杨六省老师联系进行讨论。
对文兰悖论的消解
杨六省
文兰先生提出了一个新的悖论,叫做三卡悖论。但是,用三张卡片构造悖论的形式很多,例如,“三位哲人谁在说谎?”也可以叫做三卡悖论。为了区别起见,笔者把文兰先生提出的三卡悖论称作文兰悖论。下面我们就来介绍这个悖论。
有三张卡片,它们上面分别写有如下内容:
第二张卡片的句子为真,且第三张卡片的句子为假
第一张卡片的句子为假,或第三张卡片的句子为真
第一张和第二张卡片的句子都为真
设第一张卡片的句子为真。由其所述,第二张卡片的句子为真,且第三张卡片的句子为假。这样一来,第三张卡片的句子之所述就被肯定了,因而第三张的句子为真,与已经证明了的第三张卡片的句子为假的事实矛盾。这一矛盾证明,第一张卡片的句子必为假。
于是,第二张卡片的句子之所述就被肯定了,因而第二张卡片的句子为真。又,第三张卡片的句子之所述就被否定了,因而第三张卡片的句子为假。但这样一来,第一张卡片的句子之所述就被肯定了,因而第一张卡片的句子为真,与已经证明了的第一张卡片的句子为假的事实矛盾。至此已穷尽所有可能而处处遇到矛盾。(文兰.悖论的消解(第一版),科学出版社,2018:17)
我们先来看文兰先生是如何给悖论下定义的。他说:“在推理须符合逻辑规则的约定下,我们提出一个不同的定义:悖论是推出矛盾但原因不明的推理。”(同上书:第1页)
笔者对上述悖论定义的质疑是,既然我们不明了悖论发生的原因是什么,又如何去消解它呢?犹如医生不明病因,又如何去治病呢?所以,文兰先生的书名《悖论的消解》与他所给出的悖论定义是自相矛盾的。事实上,消解悖论难道不就是要找出悖论发生的原因,从而否决这种原因吗?
笔者并不认为,文兰悖论是被文兰先生发现的,确切的说法应该是,它是由文兰先生设计的。事实上,文兰先生在其书中第19页就写道——“在制作这个‘三卡悖论’时”如何如何。
我们先来介绍布里丹的第九个诡辩——柏拉图-苏格拉底对话悖论(俗称双卡悖论)。
这个悖论的条件由柏拉图的话“苏格拉底说的是对的”和苏格拉底的回答“柏拉图说的是错的”组成。如果柏拉图的陈述是对的,那么该陈述就是错的。如果柏拉图的陈述是错的,那么苏格拉底的陈述也是错的——苏格拉底陈述的意思终究是在说,柏拉图的陈述是对的。
关于这个悖论,笔者在《悖论是什么——70个悖论的消解》一书中评论道:“柏拉图的陈述与苏格拉底的回答是不相容的,即所给条件是相互矛盾的。如果柏拉图的陈述是对的,这时应用苏格拉底的回答,就是在应用不相容的条件,这不是有效推理。所以,所谓从柏拉图的陈述是对的推出了该陈述是错的,这样的推理是无效的。如果柏拉图的陈述是错的,由其说过的话,能推出苏格拉底的回答是错的,这一步推理没有应用不相容的条件,所以是有效推理;然而,再应用苏的回答,就是应用了不相容的条件,故这一步推理就是无效的。所以,由柏拉图陈述是错的又推出该陈述是对的,也是无效推理。”
上述评论揭示,双卡悖论中的推理是无效的,这就是该悖论产生的原因。原因找到了,对这种原因(无效推理)进行否决,即不认可这种无效的推理,这就是对双卡悖论的消解。
下面我们来看三张卡片之间的关系。
假设第一张卡片的句子为真,说明其中的两句都真。第二张卡片中的前一句与第一张卡片的句子为真的假设相矛盾,故为假。第二张卡片中的后一句与第一张卡片中的后一句相矛盾,故同样为假。这说明,假设第一张卡片的句子为真,则第二张卡片的句子为假。
假设第一张卡片的句子为假,只需其中的任何一句为假。假设第一张卡片中的前一句为假,说明第二张卡片中的前一句为真,于是,第二张卡片的句子为真。假设第一张卡片中的后一句为假,说明第二张卡片中的后一句为真,于是,第二张卡片的句子为真。
综上所述,第一张卡片的句子与第二张卡片的句子是一真一假,故第三张卡片的句子必为假。于是,前两张卡片的真假就都只取决于各自的前一句的真假。这样说来,前两张卡片就是被镶入三卡悖论中的一个双卡悖论,很是有趣!
下面我们来揭示,文兰悖论的发生原因是什么。
需要特别提醒的一点是,不要忘记上面已经得出的结论,即前两张卡片实际上是双卡悖论的一个变体。因此,任何一张卡片中的前一句都是在说反话,都是在做自我否定,就像说谎者语句一样,这是双卡悖论的题设条件(注:笔者关于说谎者悖论的消解,可参见笔者的《悖论是什么》一书,或《前沿科学》2014年第1期中笔者文章)。
假设第一张卡片的句子为真。依据第一张卡片中的前一句,推理中用了“由其所述,第二张卡片的句子为真”这一表述,从而认可第二张卡片的句子为真,这种做法是违反双卡悖论中“所述必反说”原则的。因此,由假设第一张卡片的句子为真是推不出第一张卡片的句子为假的。
假设第一张卡片的句子为假。依据双卡悖论中“所述必反说”原则,第二张卡片中的前一句就应该是第一张卡片的句子为真,但推理中没有这样做,这是违反双卡悖论中“所述必反说”原则的。因此,由假设第一张卡片的句子为假是推不出第一张卡片的句子为真的。
综上所述,违反双卡悖论的题设条件(所述必反说)是文兰悖论产生的原因。据此,我们有理由不认可该悖论中的推理,这样,文兰悖论就得以消解了。
文兰悖论的构思很是有趣,三卡悖论中还隐含着一个双卡悖论(这一点倒不能理解,想必文兰先生是以双卡悖论做基础构思三卡悖论的,但问题是,在添加新项后,如何能使这个基础得以保持,这就需要技巧了)。同时,这个悖论的推理似真性强,消解有难度,笔者很是欣赏(注:笔者的《悖论是什么——70个悖论的消解》一书,以后再版时,一定会把文兰悖论加上)。笔者也相信,这个悖论能够得以流传。
正像笔者会赞赏一个魔术,但这只是表明笔者对其表演“逼真性”的认可,而不是说,笔者真的就相信点石可以成金之类的事。美国著名科普专家马丁把悖论比作“有点像魔术中的变戏法”,笔者对此很是赞同,因为马丁看到了问题的本质,悖论与魔术一样,其表演(推理)是假的。悖论是什么?笔者的回答是——悖论是无效推理的产物,形象地说就是,悖论是披着羊皮的狼。这里的羊皮是指有效推理,也就是说,有效推理只是一种假象;狼是指由无效推理所推出的A∧¬A及与客观事实相矛盾的结论。
国内学界普遍认为,悖论定义中所涉及的由A到¬A的推理是有效推理。但是,有效推理是指前提蕴涵着结论的推理,这就是说,由上述观点会推出A可以蕴涵¬A,但这显然是荒谬的,因此,上述主流观点是站不住脚的。
既然A不可能蕴涵非A,所以,任何悖论中的由A到非A的推理都不可能是有效推理,这正是任何悖论发生的原因。据此我们说,消解悖论就是揭示导致悖论发生的推理的无效性。
也许有人会问,前提虚假是不是导致悖论发生的原因?笔者的回答是,否。《哥德尔证明》一书的作者说:“纯数学家所面临的问题,不是所假定的前提或从这些前提演绎出的结论是否为真,而是这些结论在事实上是否为初始前提的必然逻辑结果。”
还可能有人会问,所给条件不相容(例如,双卡悖论),是不是一定会导致悖论的发生?笔者的回答仍然是“否”。正像中药铺会备有不同种类的反药,但只要开药方的医生不违反中医用药十八反十九畏,按方抓药,就不会死人。
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