说明:因杨六省老师之邀,先后将其《对初中数学教科书关于√2不是有理数证明的质疑》、《又一新的证据再次表明——毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明是无效的》、《人教社中学数学编辑室的回复缺乏说服力》以及《杨六省:质疑文兰先生关于√2不是有理数的证明》等相关质疑论述进行了转载,分别已经有数百或者数千人次的点击量。今天杨六省老师又寄来“致全国中学数学教师和教科书编者的一封公开信——对毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明的6点质疑”,对于以前的质疑论述以及相关人士的反驳进行统一答复。因我本人对数学一窍不通,仅仅出于帮助开展讨论,明辨是非,弄清正误之目的,再次将其转载于下,敬请数学行家进行评议,也可以直接与杨六省老师联系进行讨论。
致全国中学数学教师和教科书编者的一封公开信
——对毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数证明的6点质疑
杨六省
yangls728@163.com
尊敬的全国中学数学教师和教科书(各种版本)的编者:
李文林先生在其《数学史概论》(第三版,高等教育出版社,2011年)第39页写道: “正方形的对角线和其一边就构成不可公度线段。这一事实的证明,最早出现在亚里士多德的著作中:……这一证明与我们今天证明√2为无理数的方法相同,亚里士多德声明这来源于毕达哥拉斯学派。”罗素在他的《西方哲学史》(上册,商务印书馆,1963年第1版)第62-63页转述了毕达哥拉斯学派关于√2不是有理数的证明之后写道——“以上的证明,实质上就是欧几里德第十编中的证明。”并“注解”说——“以上的证明或许柏拉图是知道的。”为了方便起见,笔者采用现今教科书中的证法。下面是人教版数学七年级下册第58页中的证明。
假设√2是有理数,那么存在两个互质的正整数p,q,使得
√2=p/q,
于是 p=√2q.
两边平方得 p2=2q2.
由2q2是偶数,可得p2是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数,所以p也是偶数.
因此可设p=2s,代入上式,得4s2=2q2,即
q2=2s2.
所以q也是偶数. 这样,p和q都是偶数,不互质,这与假设p,q互质矛盾.
这个矛盾说明,√2不能写成分数的形式,即√2不是有理数.
对于上述证明,笔者提出如下6点质疑:
第1点质疑,√2=p/q(p,q互质)能作为“√2不是有理数”的反论题的表达式吗?
关于反证法,一个基本的要求是——“只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题”(摘引自由“‘科普中国’科学百科词条编写与应用工作项目”审核的“反证法”词条)。金岳霖主编的《形式逻辑》一书中也有类似的表述:“只有论题的矛盾判断才能作为矛盾论题。” 矛盾判断关系务必满足:原论题真则反论题假;反论题假则原论题真
“√2不是有理数”是原论题,其表达式√2=p/q(p和q不全是整数);反论题是“√2是有理数”,其表达式应该是√2=p/q(p和q全是整数)。但是,上述教科书是把√2=p/q(p,q互质)设定为原论题“√2不是有理数”的反论题。为了区别起见,我们把表达式√2=p/q(p,q互质)所代表的论题记作“反论题(新)”。下面我们就来揭示,反论题(新)√2=p/q(p,q互质)与原论题√2=p/q(p和q不全是整数)并不构成矛盾判断关系。
“原论题真”是指,对于“√2=p/q”而言,“p和q不全是整数”成立。这时,谈论“p,q互质”的真假是没有意义的。也许有人会说,不妨把p,q互质没有意义“理解为假”。但问题是,在所有的数学文献中,“互质”和“非互质”概念都是针对两个整数而定义的,我们不可以违反同一律,在同一个论证过程中,对“p,q互质为假”这一说法赋予相互矛盾的含义。因此,上述那个“理解为假”的主意是行不通的。事实上,如果“原论题真则反论题(新)假”成立,则前件要求认可“p和q不全是整数”,后件则相反,矛盾,故“原论题真则反论题(新)假”不成立。
同理,“反论题(新)假则原论题真”也不成立。
上述分析说明,教科书(注:当然也包括其他文献)把√2=p/q(p,q互质)设定为原论题“√2不是有理数”的反论题的表达式是违反反证法基本要求的,因为两个表达式√2=p/q(p,q互质)与√2=p/q(p和q不全是整数)所代表的论题并不是矛盾判断关系。
第2点质疑,由√2=p/q(p和q全是整数)能推出√2=p/q(p,q互质)吗?
有人会认为,由√2=p/q(p和q全是整数)推出√2=p/q(p,q互质)是理所当然的事。若真是如此,那么,前者假则后者也假。由前者假可知,p和q不全是整数;由后者假可知,p和q非互质,但它们仍均为整数(注:互质与非互质的定义都是针对两个整数而言的),这与前者假时p和q不全是整数矛盾,故由√2=p/q(p和q全是整数)推不出√2=p/q(p,q互质)。
关于推理错误的具体原因:当人们由√2=p/q(p和q全是整数)推出√2=p/q(p,q互质)时,显然是把p/q从√2=p/q中割裂开来,然后加上条件“p和q全是整数”进行推理的。如果这样做是合理的,那么,结论“p和q都是偶数”同样也可以由p/q和条件“p和q全是整数”推出,但这显然是不可能的。事实上,由人教书可知,“p和q都是偶数”之结论是根据√2=p/q(p和q全是整数)进行推理的。下面我们就来揭示,由√2=p/q(p和q全是整数)推不出√2=p/q(p,q互质)的具体理由:在√2=p/q(p和q全是整数)中,等式的左边是无理数√2(注:笔者关于√2不是有理数的证明与毕达哥拉斯学派的证明没有关系,所以,笔者有理由在说理中把“√2不是有理数”作为论据加以应用),右边是一个分数表达式,所以,√2=p/q(p和q全是整数)是一个矛盾式。希尔伯特说,“如果一个概念具有矛盾的属性,那我就认为这概念在数学上不存在。”因此,表达式√2=p/q(p和q全是整数)不具有存在性。现今的人们都知道,√2具有客观存在性,再加上它又是我们所讨论的对象,所以,我们无疑的会认可√2在√2=p/q(p和q全是整数)中的存在性。这样说来,√2=p/q(p和q全是整数)之所以不存在,只是由于等式的右端不存在。试问,对于一个不具有存在性的东西,何以能够谈论分数的化简呢?还可以换一种说法,现今的人们都知道,对于√2=p/q而言,其中的p和q不可能全是整数,在这种情况下,谈论分数的化简有意义吗?(注:也许有人会说,我们是根据“假设p和q全是整数”进行推理的呀,有何不可?笔者的回答是,正是由于“假设p和q全是整数”导致了“p和q都是偶数”的错误结论,所以,应该否定“假设p和q全是整数”才对)因此,依据上述理由,由√2=p/q(p和q全是整数)是推不出√2=p/q(p,q互质)的。
第3点质疑,由√2=p/q(p和q全是整数)能推出p和q都是偶数吗?
答案是否定的,理由参见文后附件“笔者关于√2不是有理数的证明”。
第4点质疑,当毕达哥拉斯学派认为已经证明了“√2不是有理数”之后,理应反思一个矛盾,这就是,如果“√2不是有理数”是一个正确的结论,那么,“p,q互质”就是一个不相干的假设(注:相干的假设是指,p和q是否全是整数,因而,p和q是否互素就是不相干的假设),因此,应该修正假设,重新证明,但毕达哥拉斯学派并没有这样做!
事实上,既然已经知道√2不是有理数,就应该知道“p和q都是偶数”是错误的推理结论,理应否定它们,而不是应用这种错误的结论去否定一个不相干的假设。
第5点质疑,由p和q都是偶数与假设p,q互质矛盾,能够说明√2不是有理数吗?
人教版数学课本在证明的末尾写道——“p和q都是偶数,不互质,这与假设p,q互质矛盾。这个矛盾说明,√2不能写成分数的形式,即√2不是有理数。”
笔者认为,由p和q都是偶数(注:姑且不论其推理是否有效)与假设p,q互质矛盾,并不能说明√2不是有理数,理由是:由p和q都是偶数只能否定“√2=p/q(p,q互质)”,而不能否定“√2=p/q(p和q全是整数)”,因为p和q都是偶数与“√2=p/q(p和q全是整数)”中的“p和q全是整数”并不矛盾;而由对“√2=p/q(p,q互质)”的否定,只能确立“√2=p/q(p,q非互质)”(——从而可以推出p和q全是整数,因为“非互质”概念是针对两个整数而定义的),而不能确立“√2=p/q(p和q不全是整数)”,因为只有“√2=p/q(p,q非互质)”与“√2=p/q(p,q互质)”才是矛盾判断关系,而由上文“第1点质疑”可知,“√2=p/q(p和q不全是整数)”与“√2=p/q(p,q互质)”并不构成矛盾判断关系。因此,由对“√2=p/q(p,q互质)”的否定(注:姑且不论推理是否有效),并不能否定反论题“√2=p/q(p和q全是整数),并不能确立“√2=p/q(p和q不全是整数)”为真,即并不能说明“√2不是有理数”。
第6点质疑,在同一论证过程中,对于同一蕴涵关系,既应用它参与推理,又拒绝应用它参与推理,合理吗?
√2=p/q(q是整数)可以写成p2=2q2(q是整数)。下面的蕴涵关系很容易得到证明:对于形如p2=2q2(q是整数)的表达式,如果p是偶数,则假设条件蕴涵q也是偶数。
在教科书的证明中,对p2=2q2(q是整数)中的p实施了“设p=2s”之操作(注:这是应用反证法必须要做的事情),因而在p2=2q2(q是整数)之后有表达式q2=2s2(s是整数)紧随其后,依据上述蕴涵关系,这意味着q也是偶数;但是,对于形式相同的q2=2s2(s是整数),却没有实施同样的操作。论证过程表明,上述蕴涵关系既被应用于推理(指对p和q都是偶数的认可),又被拒绝应用于推理(指如果q为偶数,却不再认可后面的s等也为偶数),这种不能一以贯之的做法,不仅违反一致性原则,其实实在在的后果是,它错失了因为假设p为偶数(注:我们已先行的假设了q是整数)会导致矛盾,因而应该否定p为偶数之假设的机会(参见文后附件“笔者关于√2不是有理数的证明”),致使论证必陷于无效。(6点质疑讨论完毕)
总之,关于反证法的应用,如果反论题的设定是错误的,那么,就不可能通过应用反证法证明原论题——抛开推理的有效性不论,依据反证法的思路,你最终应该否定的将不是反论题,从而,肯定的也就不可能是原论题(注:例如,上文教科书中的证明)。如果反论题的设定是正确的,并且每一步的推理都是合理的,那么,推出的矛盾就一定能够否定反论题,从而确立原论题(参见文后附件“笔者关于√2不是有理数的证明”),相反,如果反论题的设定是正确的,但推出的矛盾却不能否定反论题,不能确立原论题,那么,这其中的推理必存在问题,例如,有些人明明清楚,√2不是有理数的反论题的表达式应该是√2=p/q(p和q全是整数),但却推出了√2=p/q(p,q互质)和“p和q都是偶数”,而依据后者并不能否定反论题,并不能确立原论题,归根到底,是因为关于√2=p/q(p,q互质)和“p和q都是偶数”的推理是无效的(注:理由参见上文“第2点质疑”和文后附件“笔者关于√2不是有理数的证明”)。
这篇文字所涉及的不只是教学问题,它还涉及对第一次数学危机这一重要事件的准确表述问题。以往所有的的数学文献均认为,是毕达哥拉斯学派首先发现并证明了√2不是有理数。但笔者认为,毕达哥拉斯学派只是最早发现了√2不是有理数,但并没有能够证明它。
对于上述观点,敬请教科书(各种版本)的编者、专家、中学数学教师及同好批评指正。
致礼!
杨六省
2021-03-18
附:笔者关于√2不是有理数的证明
命题:对于√2= p/q ,其中的p和q不可能全是整数。
证明:我们总可以把√2= p/q写成p2=2q2(q是整数)的形式。
① p不可能是偶数
假设p是偶数,设p=2r(r是整数),代入p2=2q2,得q2 =2r2 。如果p2=2q2(q是整数)中的p是偶数,那么,q2 =2r2(r是整数)中的q也是偶数;……这样下去,就会推出p和q均含有无穷多个因数2(注:例如,关于p,开始假设p=2r;后面还会假设r=2t;……),从而说明p和q均不是整数,但这与先后假设的q是整数和p是偶数相矛盾,故对于p2=2q2(q是整数)而言,p不可能是偶数。
② p不可能是奇数
理由是,奇数的平方不可能是偶数。
综上所述,对于p2=2q2(q是整数)而言,p不可能是整数,换一种说法,对于√2= p/q 而言,其中的p和q不可能全是整数。
附上寄给国外专家的信件
Dear Mr. Keith Devlin,
If we use ψ to express "√ 2 is irrational number", then the expression of ¬ψ should be √2 = p/q (p and q are both integers), not √2 = p/q (that p and q are coprime).
Best wishes!
YANG Liusheng
An open letter to middle school math teachers and textbook editors across the country
— Six Questions about the Pythagorean School's Proof that √2 is not a Rational Number
Liusheng YANG
Chang'an normal school, Shaanxi Province, 710100
Abstract This paper will reveal that: ①setting √2 = p/q (that p and q are coprime) as the Counter-thesis of "√ 2 is not a rational number" is against the basic requirements of the reduction to absurdity.②From the assumption that √2 = p/q (p and q are both integers), we can not deduce √2 = p/q (p and q coprime), and can not deduce that p and q are even numbers. ③According to the contradiction between " p and q are even numbers" and "assuming that p and q are coprime", we can not deduce that √ 2 is not a rational number.④It is unreasonable to use and refuse to use the same implication relation in reasoning in the same process of argument.The article gives a valid proof that√2is not a rational number.Conclusion: the statement of the first mathematical crisis in the history of mathematics should be revised. The accurate statement should be that Pythagorean School only discovered that √2 is not a rational number, but failed to prove it.
Key words: Counter-thesis; Contradictory judgment;consistency; effective reasoning; reduction to absurdity
I don't understand English, I didn't translate the full text into English, please understand.
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