动平衡的正态分布要求的转移矩阵--《气象随机场-24》

张学文，2014/9/12

上一讲讨论了一个气象场的某气象变量（如大气压力）如果其分布函数是稳定的均匀分布，即处于动态平衡情况下的均匀分布，它要求的转移矩阵的特征。这个讨论是在对分布函数的转移矩阵做了很多的一般分析基础上而展开的。

均匀分布的转移矩阵的高度对称特征也使我们看到转移矩阵无论阶数是多少，其矩阵都是类似的。所以我们没有就不同阶数的矩阵多讨论。

现在我们的核心任务是分析正态分布所对应的转移矩阵。即我们试图获得在动态平衡情况下的正态概率分布所要求的转移矩阵的特征。鉴于正态分布在概率论和统计学中经常遇到。所以这个讨论对非气象领域的正态分布的认识也有价值。

在23讲中我们看到对称性很强的均匀分布，除了满足状态在一个时间步长中最多只可以移动到相邻的相格（离散的状态区间）外，还具有向左右相格的转移速度（转移率）相等的特征。而左右相格的转移率如果相等，也就意味着待求的转移矩阵中的未知数又减少了n-1个。而在第22讲的最后部分我们指出过从分布函数获得转移矩阵尚缺n-1个未知数。而左右转移速度相等的假设竟然使这些未知数消失了。这就算是说你给我任何一个离散化的分布函数，我都可以在

1.       转移矩阵适用于时间步长很短，从而状态仅可以转移到相邻相格或者不转移；

2.      满足马尔科夫过程的细致平衡原则（对分布函数是转移矩阵的极限分布）；

3.      左右转移速度相等；

4.      任意给一个合理的假设的转移速度；

5.      转移矩阵的每一行的诸元素的合计值=1。

依据分布函数的n个离散值（相格）而推算出它要求的n阶转移矩阵。

下面就针对正态分布落实对应的各个环节：

1.       正态分布公式：这里用的是平均值=0，标准差=1的正态分布公式

其公式是  f(x)=(1/(2*Π)^0.5）*exp（-x*x/2）

2.       对此概率密度我们把它适当地离散化为15个相格（区间,分的不是很好）。而每个区间中的出现概率大致是如下的表。

3.       根据前面整理的5项要求而得到的15乘15的转移矩阵（其中由我们主观设定的一个值是矩阵的第2行第2列为0.7）。而空白处的转移速度是0.

4.       根据前面的介绍，我们从任意一个初始分布（实际是第4个相格=1，其他相格=0）与上面的矩阵做乘法，获得一个新的分布函数，以此分布函数再做矩阵乘法，如此做1万次，结果是获得的分布已经与正态分布函数很近了。见下图

图中的变量的取值，应当修订为变量对应的相格位置编号

5.       这说明本转移矩阵就是正态分布函数的转移矩阵，或者说正态分布是本转移矩阵的极限分布。

关于保持动态平衡时的正态分布所要求的转移矩阵的特征我们初步分析到此。