探索：暗约束？现实世界对香侬-詹尼斯信息熵有偏爱？

美国归侨冯向军博士，2017年7月16日写于美丽家乡

【摘要】对于n > 2的广义系统G(p1，p2，...，pn)，在变量的统计平均值为常量时，唯有香侬-詹尼斯信息熵最大给出负指数分布，而在数学上，Tsallis广义熵【1】最大和发生概率最大一般而言都给出不同于负指数分布的分布。但是张学文快刀斩乱麻实验只观察到负指数分布。是张学文快刀斩乱麻实验观察不全还是存在暗约束：现实世界对香侬-詹尼斯信息熵有偏爱？

【最大发生概率原理给出负1次非标准幂律】

对于非自然约束条件：变量的统计平均值是常量 或 p1x1 + p2x2 +...+ pnxn = 常量C3(这其中x1，x2，...，xn是与广义系统概率分布p1，p2，...，pn相对应的n个离散变量值），命由目标函数发生概率的对数log(P)，自然约束条件和上述非自然约束条件所决定的拉格朗日算子为L。有：

L = log(p1) + log(p2)+...+log(pn) + C1(p1 + p2 +...+ pn - 1)

+  C2(（p1x1 + p2x2 +...+ pnxn - C3)

对于拉格朗日算子L求一阶偏导数dL/dpi(i=1，2，...,n)并令之为零。有：

dL/dpi = 1 /pi + C1 + C2xi = 0，i = 1，2，...，n。

pi = -1/(C1 + C2xi ),i = 1，2，...，n。

这就是负1次非标准幂律。

但是拉格朗日算子L的二阶偏导数矩阵为一主对角线上元素恒负而其余元素全为零的负定对称矩阵，因此令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的上述负1次非标准幂律也必定是令拉格朗日算子L或约束条件下的目标函数发生概率的对数log(P)取得最大值或极大值的概率分布。这也就是说令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的上述负1次非标准幂律也必定是令约束条件下的发生概率P取得最大值或极大值的概率分布，这种负1次非标准幂律符合最大发生概率原理。

【最大Tsallis广义熵给出非标准幂律】

对于非自然约束条件：变量的统计平均值是常量 或 p1x1 + p2x2 +...+ pnxn = 常量C3(这其中x1，x2，...，xn是与广义系统概率分布p1，p2，...，pn相对应的n个离散变量值），命由目标函数Tsallis广义熵，自然约束条件和上述非自然约束条件所决定的拉格朗日算子为L。有：

L = 1/(q-1) * (1-p1^q -p2^q-...-pn^q) + C1(p1 + p2 +...+ pn - 1)

+  C2(（p1x1 + p2x2 +...+ pnxn - C3)

对于拉格朗日算子L求一阶偏导数dL/dpi(i=1，2，...,n)并令之为零。有：

dL/dpi = -q/(q-1)* pi^q-1 + C1 + C2xi = 0，i = 1，2，...，n。

pi = ((q-1)/q * (C1 + C2xi ))^1/(q-1),i = 1，2，...，n。

当待定常数q < 1 ，这就是非标准幂律。

但是拉格朗日算子L的二阶偏导数矩阵为一主对角线上元素恒负而其余元素全为零的负定对称矩阵，因此令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的上述非标准幂律也必定是令拉格朗日算子L或约束条件下的目标函数Tsallis广义熵取得最大值或极大值的概率分布。这种非标准幂律符合最大Tsallis广义熵原理。

【只有最大香侬-詹尼熵原理给出负指数分布】

对于非自然约束条件：变量的统计平均值是常量 或 p1x1 + p2x2 +...+ pnxn = 常量C3(这其中x1，x2，...，xn是与广义系统概率分布p1，p2，...，pn相对应的n个离散变量值），命由目标函数香侬-詹尼熵，自然约束条件和上述非自然约束条件所决定的拉格朗日算子为L。有：

L = -p1log(p1) - p2log(p2)-...-pnlog(pn) + C1(p1 + p2 +...+ pn - 1)

+  C2(（p1x1 + p2x2 +...+ pnxn - C3)

对于拉格朗日算子L求一阶偏导数dL/dpi(i=1，2，...,n)并令之为零。有：

dL/dpi = -log(pi) - 1 + C1 + C2xi = 0，i = 1，2，...，n。

pi = exp(-1+C1)*exp(C2xi),i = 1，2，...，n。

当待定常数C2 < 0 ，这就是负指数分布。

但是拉格朗日算子L的二阶偏导数矩阵为一主对角线上元素恒负而其余元素全为零的负定对称矩阵，因此令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的上述负指数分布也必定是令拉格朗日算子L或约束条件下的目标函数香侬-詹尼熵最大的分布，这种负指数分布符合最大香侬-詹尼熵原理。

 对于n > 2的广义系统G(p1，p2，...，pn)，在变量的统计平均值为常量时，唯有香侬-詹尼斯信息熵最大给出负指数分布，而在数学上，Tsallis广义熵最大和发生概率最大都给出不同于负指数分布的分布。但是张学文快刀斩乱麻实验只观察到负指数分布。是张学文快刀斩乱麻实验观察不全还是存在暗约束：现实世界对香侬-詹尼斯信息熵有偏爱？

参考文献

【1】Tsallis entropy，wikipedia，https://en.wikipedia.org/wiki/Tsallis_entropy