朗兰兹纲领：关于数学大一统的伟大构想

来源：胖福的小木屋 人工智能学家 2019-06-14

麦克斯韦方程组

来源：今日头条

我们经常聊到物理学家都在追寻物理学的大一统，物理学的第一次大一统是麦克斯韦的麦克斯韦方程组，将电学与磁学相统一，建立了电磁学理论，后来，爱因斯坦想继续完成麦克斯韦未竟之事业，将引力与电磁力相统一，最后失败，而随着弱力、强力的被发现，物理学界早已在上世纪 70 年代，将电磁力与弱力、强力进行统一，就只剩下了引力，可以说只差临门一脚。

而数学界也有许多的数学家想要实现数学各大分支之间的统一，其中最伟大的构想就是——朗兰兹纲领。

数学中有三个相对独立发展起来的数学分支分别是：数论、代数几何以及群表示论。

代数几何是几何学延伸出来的一个分支，是将抽象代数，特别是交换代数，同几何结合起来。它可以被认为是对代数方程系统的解集的研究。代数几何以代数簇为研究对象。代数簇是由空间坐标的一个或多个代数方程所确定的点的轨迹。例如，三维空间中的代数簇就是代数曲线与代数曲面。代数几何研究一般代数曲线与代数曲面的几何性质。

而群表示论则是群表示论用具体的线性群（矩阵群）来描述群的理论，是研究群的最有力的工具之一。群论的提出来源于伽罗瓦理论中，在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构。群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响之外，还生成了几何群论这一新的数学分支。

“数论”其实在建立初期就叫“算术”，到20世纪初，才正式更名为“数论”。主要是研究整数的性质，其中对于素数通项公式的研究，贯穿了整个数论发展史。

“数论”诞生于古希腊时期，而后来欧氏几何一统数学江湖，数学的研究陷入停滞，直到15-16世纪到19世纪，“数论”的研究再次兴起，涌现出了一大批投身于“数论”研究的数学家：费马，梅森、欧拉、高斯、黎曼、希尔伯特等。费马大定理是数论中最著名的世界难题之一

费马大定理

1801年，高斯以前人的研成果为基础，发表了具有划时代意义的数学著作《算术研究》，这部巨著被认为开启了“现代数论”的新纪元。

算术研究英文版

而在《算术研究》中，高斯创立了“同余理论”，并发现了被誉为“数论之酵母”的“二次互反律”。在此基础上，黎曼创立了“黎曼ζ函数”，黎曼猜想就是是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想。

经过对“黎曼ζ函数”的研究，黎曼发现“复变函数”的“解析性质”似乎揭示了“素数的分布规律”。这一重大发现，将“数论”的研究领进了“分析领域”。

随着新的“数学工具”不断涌现， 数论开始和“代数几何”建立了联系， 直接导致了另一门具有重要意义新的学科“算术代数几何”的诞生。（算数几何是代数几何的一个分支，是以数论为背景或目的的代数几何）

“算术代数几何” 将几个看似不相关的数学分支统一了起来。让数学家意识到或许可能存在一个纽带，将数学各大分支进行联系统一起来。

1967 年的时候，30岁的普林斯顿数学家罗伯特·郎兰兹曾试探性地给著名数学家韦伊写了一封信，概述了一个宏伟的蓝图。

朗兰兹在他的信中提出，数学上两个差之千里的分支，数论和调和分析可能是相关的。

在朗兰兹的信中，他在高斯发现的二次互反律基础上，提出了更广泛的延伸。高斯的定律适用于指数不高于2的二次方程。但朗兰兹认为，在三次、四次等高阶方程中产生的质数，应该会与调和分析成互反关系。

调和分析是现代分析数学的核心领域之一，主要研究函数展开成傅立叶级数或傅立叶积分，以及有关这种级数和积分的各种问题。

朗兰兹纲领就将多项式方程的质数值与分析和几何学中研究的微分方程的谱相联系到一起，并认为这两者之间应该存在互反关系。因此，我们应该能通过了解哪些数字出现在相应的光谱中，来表示哪些质数出现在特定的情况中。不过这两组数字不能被直接比较，它们必须都通过不同的数学对象进行翻译。

朗兰兹信中包含的思想种子由此萌生成了朗兰兹纲领。

朗兰兹纲领指出这三个相对独立发展起来的数学分支：数论、代数几何和群表示论，实际上是密切相关的，而连接这些数学分支的纽带是一些特别的函数，被称为L-函数。

L-函数主要有三部分内容：解析延拓、零点的分布以及特殊点的值。黎曼在研究高斯和勒让德提出的素数定理时,引出了和素数分布有关的复变量的黎曼ζ函数就是属于L-函数。

对于一个研究对象X 如素数, 伽罗瓦扩张, 椭圆曲线, 代数簇等等, 我们可根据其性质构造出一个复变量的L-函数的解析性质: 零点和极点, 函数方程, 展开系数, 特殊点的值等等, 往往能够充分反映的算术, 几何, 或代数性质。

数学界著名的七个“千禧年大奖问题”中有两个就是关于L-函数的，它们分别是黎曼猜想和BSD猜想。它们的重要性由此可见一斑。

黎曼猜想

所以朗兰兹认为为L-函数可以充当将各数学分支联系一起的纽带。朗兰兹提出了怎样对一般的简约群的自守表示定义一些L-函数，并猜测一般线性群自守表示的一些L-函数跟来自数论的伽罗瓦群的一些表示的L-函数是一样的。

这个猜想被朗兰兹本人和其他数学家进一步拓展、细化，逐渐形成了一系列揭示数论、代数几何、表示论等学科之间深刻联系的猜想。朗兰兹纲领就是对这些猜想和相关问题的研究。

简单而言，就是朗兰兹提出一项雄心勃勃的革命性理论：将数学中两大分支——数论和表示论联系起来，其中包含一系列的猜想和洞见，最终发展出“朗兰兹纲领”。它是一组意义深远的猜想， 这些猜想精确地预言了数学中某些表面上毫不相干的领域之间可能存在的联系。

而其中如果纲领成立的话，那么必须成立的数学公式。朗兰兹把这个结果称为“基本引理”。

从朗兰兹纲领提出的那一刻，一代又一代的数学家开始接受并扩展了他的构想。随着数学家对朗兰兹纲领的不断深入，它所涵盖的领域非常多，许多人相信，只要完成了朗兰兹纲领中的工作，就可以实现数学的大一统，即实现算术、几何和数学分析三大核心学科的统一。就数学史而言，这可以说是革命性的。

著名的数学家爱德华·弗伦克尔在菲尔兹奖座谈会上曾经说过：

朗兰兹纲领是一个很广阔的问题，有许多专家工作于此。但正如我刚才所说，朗兰兹纲领的思想已经渗透到许多数学领域中。所以有人钻研数论，或调和分析，或几何，或数学物理研究不同的对象，但是发现了相似的现象。对于我来说，就是研究同样的模式怎么在不同的领域中表现的，从而找到这些领域是怎么联系起来的。

这就像我们有一些来自不同语言的句子，我们知道这些句子说的是一件事。我们把它放在一块，一一对应这些句子的每个单词，最后我们能编出一本翻译不同数学领域的词典。

用其他的话说，我们不把朗兰兹纲领看成数学的“领域”，而是看成“超领域”，因为它横贯整个数学世界。

怀尔斯对于费马大定理的成功证明更是让数学家们看到了朗兰兹纲领的可行性，安德鲁·怀尔斯在上世纪90年代初对费马大定理的证明。

怀尔斯的证明与其他人的工作一起完成了谷山―志村―韦依猜想的解决。该猜想揭示了椭圆曲线与模形式之间的关系，证明了谷山―志村―韦依猜想，就证明了费马大定理。

前者是具有深刻算术性质的几何对象，后者是来源于截然不同的数学分析领域的高度周期性的函数。而这就来源于朗兰兹纲领提出了数论中的伽罗瓦表示与分析中的自守型之间的一个关系网。

由此，朗兰兹纲领的影响近年来与日俱增，与它有关的每一个新的进展都被看作是重要的成果。直到如今，朗兰兹纲领的研究也是数学界的一个大方向之一，许多数学家因为对朗兰兹纲领的研究取得了突破而获得了菲尔兹奖。

越南数学家吴宝珠通过引入新的代数-几何学方法，证明了朗兰兹纲领自守形式中的“基本引理”而获得了菲尔兹奖，2009年，美国《时代》周刊将基本引理的证明列为年度十大科学发现之一。

吴宝珠

而几何和代数大统一研究的最新核心就是 p 进数，即任意给定的素数 p 的替代表示。从一个任意正整数创建出一个 p 进数，就要将这个整数表示成 p 进制的数，然后再反向表达。

少年天才舒尔茨曾用3个学期学完了本科，接着，又用2个学期学完了研究生内容，更可怕的是，他凭借硕士毕业论文而直接获得了博士学位！

他通过引入拟完备空间把算术代数几何转换到p进域上，并应用于伽罗瓦表示，被人们称为“代数几何未来几十年最具潜力的几大框架体系之一”。

凭借着这骄人的成绩，舒尔茨 30 岁就获得了菲尔兹奖，还被誉为代数几何的上帝——格罗滕迪克的接班人。

我们国家对于朗兰兹纲领的证明工作也取得了一些成绩：

1. 证明了Theta对应的三个最基本的论断。罗杰·豪尔开创的Theta对应理论有三个最基本的论断，分别称为豪尔对偶猜想、重数保守猜想和库德拉-拉利斯守恒律猜想。

2. 完成了重数——猜想的证明，并证明了一系列与此相关的重要唯一性定理。

3. 对亚辛群系统研究了迹公式，特别地，建立了亚辛群的迹公式椭圆部分的稳定化。

4. 证明了卡日丹和马祖尔在上世纪70年代提出的一个局部zeta积分非零的假设。

可以说，朗兰兹纲领为数学界的发展指引了一个方向，对于朗兰兹纲领的证明将会是一个漫长的过程，如今几何与代数的大统一就在眼前，未来，数学界真正意义的大一统还会远吗？

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