爱德华·弗伦克尔（Edward Frenkel）

撰文 | 张华

电影的导演是数学家爱德华·弗伦克尔（Edward Frenkel）与瑞恩·格拉夫斯（Reine Graves）。其中弗伦克尔是一个传奇人物。

弗伦克尔出身在苏联，因为苏联当时的社会政治环境很特殊，有犹太人血统的他不能进入莫斯科大学学习，他只能进入一所石油天然气相关的工科学校学习。但他经常去莫斯科大学旁听数学课程，花了大量的时间研究卡茨-穆迪代数，打下了非常扎实的数学基础。在本科时期，弗伦克尔就发表了高水平的数学论文。

21岁时，刚刚本科毕业的弗伦克尔就被哈佛大学校长出面邀请，担任哈佛大学的客座教授。不过，弗伦克尔随后还是花了一年时间，取得了哈佛大学数学系的博士学位。

在哈佛大学期间，爱德华·弗伦克尔遇见了同样来自苏联的大数学家弗拉基米尔·德林费尔德（Vladimir Drinfel'd）。德林费尔德是1990年的菲尔兹奖得主，他曾经证明了“低配版”的几何朗兰兹纲领。

几何朗兰兹猜想被认为是数学领域的“大统一理论”，是很多有雄心的数学家所追求的目标，类似于物理学中的“弦论”。

朗兰兹纲领作为数学界的大统一理论，主要作用是要打通数论、有限域平面上的曲线与黎曼曲面的联系。数论与有限域平面上的曲线的某些联系可以从“谷山-志村猜想”中得出——这其实就是费马大定理（只不过在1990年还没有被证明，到1997年这个猜想才被怀尔斯证明）。而朗兰兹纲领最初的想法是在伽罗瓦群与自守函数的表示之间建立联系，这相当于说，“谷山–志村猜想”希望找出三次方程式与模形式之间的联系，而朗兰兹则更进一步，他猜测两者之间存在一种更具一般性的关系，其中，模形式可以被李群的自守形式所取代。

而德林费尔德介入以后，则把黎曼曲面也纳入到了朗兰兹纲领中——他们希望用几何的方式重新建构朗兰兹纲领。

德林费尔德告诉弗伦克尔，他在大学时代研究的卡茨-穆迪代数与几何朗兰兹纲领高度相关。这引起了弗伦克尔的极大兴趣，他向德林费尔德学习，掌握了这一套几何朗兰兹纲领的数学方法。

加入加州大学伯克利分校担任教授后，弗伦克尔还与“弦论教皇”、菲尔兹奖得主、美国普林斯顿高等研究院的威腾合作发表过论文。此外，弗伦克尔还与朗兰兹纲领的提出者罗伯特·朗兰兹（Robert Langlands）以及越南数学天才、菲尔兹奖得主吴宝珠（Ngô Bao Chău）有过合作。

在电影中，弗伦克尔出演男主角，并且与女主角上演了一场“色戒”般的经典床戏——这在学术界相当罕见，除了《生活大爆炸》这种喜剧，很少有科学家出演影视剧并且演床戏。在电影中，弗伦克尔把一个关于爱的数学公式纹在了女主的小腹上。

为什么要在电影中采取纹身这种方式来表述对数学的爱呢？

纹身这种艺术形式起源自日本。弗伦克尔曾经去过日本十几次，深受日本文化影响。在电影筹拍期间，他和格拉夫斯曾跑到日本的电影院找灵感。在那里他们看到了一部电影，名字叫《忧国》，是根据日本著名作家三岛由纪夫（Yukio Mishima）的短篇小说改编的，导演与主演均为三岛由纪夫本人。

爱德华·弗伦克尔认为三岛由纪夫的电影创作方式力量感十足，他希望自己也能仿效三岛由纪夫的方式来创作电影。于是，他找了一位名为凯伊肖恩·梅（Kayshonne May）的演员担任女主角，女主角在电影中名为“真理子”——象征着数学的真理。

电影剧照：女主小腹上纹身的数学公式

电影的大概情节是，一位数学家，也就是男主创建了爱的公式，但他却发现这个公式是一柄双刃剑（类似于描述原子弹爆炸的质能方程E=MC²）：它既可以用来行善，又可以用来作恶。他意识到这个公式必须妥善保管，以免落入坏人手中，于是他决定把它纹身到他深爱的女人身上。

2010年4月，在巴黎自然科学与数学基金会的资助下，这部电影的首映式在巴黎的麦克斯·林德电影院举行。首映式非常成功，也获得了很多媒体的报道——这是电影史上很少见的将数学公式与电影艺术结合起来的作品，更不用说导演与主演还是一个大数学家。

那个纹身的数学公式是什么意思？

在电影中，女主角小腹上纹了一个代表爱的数学公式，它是如下方程式：

这个方程式是什么意思呢？

该公式选自弗伦克尔和安德烈·罗瑟夫（Andrey Losev）、尼基塔·涅克拉索夫（Nikita Nekrasov）于2006年合作完成的论文《超越拓扑理论的瞬子理论（1）》。

这个看上去很复杂的方程与瞬子有关。

为了理解瞬子，我们先来了解霍奇对偶。英国数学家道格拉斯·霍奇（Douglas Hodge）定义了一个*星算子，也叫做霍奇对偶，这个星算子可以把n维空间中的p形式场转换成一个(n-p)维的对偶形式场。因此，当这个对偶作用到4维空间上，可以把2形式场转变为另一个2形式场（因为4-2=2）。因此，这是一个自同构算子。连续作用两次，霍奇算子满足**=1，所以这时*星算子的本征值是±1。

瞬子由霍奇的学生，著名数学家阿蒂亚等人在Self-duality in four-dimensional Riemannian geometry一文中提出。瞬子与规范场论（简单版本就是电磁场）有关。所谓的瞬子，就是指满足*F_ab=±F_ab这个方程的2形式场——用矩阵的语言来类比，这相当于是满足本征值是±1的“本征矢量”。

在最简单的意义上，瞬子其实研究的是“电磁对偶”，因为霍奇星算子可以把电场与磁场互换。电磁对偶性所产生的群，其实与数学家发现的朗兰兹对偶群是完全一致的。

在这个意义上，女主角小腹上的这个公式与朗兰兹纲领有关——这是数学的大统一理论。对数学家来说，这具有无与伦比至高无上的意义。

在李安导演的电影《色·戒》中，女主角最后死了，但她得到了来自人性底层的最深刻的爱情。同样，在爱德华·弗伦克尔导演的电影中，他主演的数学家也死了，为数学、为真理奉献出了自己的生命。当然，女主角不能死，因为她身上有他纹身的公式——这象征着不朽的数学真理，真理是不会死的。