【书评】|规模的硬规律（三）

作者：万维纲 

科学作家  “得到”APP《精英日课》专栏作者

（续）

1. 数学 

当年霍金写《时间简史》的时候，出版商跟他说，你书中每出现一个数学公式，都会让销量减少一半。不出现公式已经成了英文世界通俗科学写作的一个约定俗成的规矩。

可是这本书不用公式不行啊。韦斯特的做法是不直接给公式，而是用语言去描述公式。咱们干脆反其道而行之，先来看一个公式。你不需要鼓足勇气就能看懂下面这个公式，连初中生都能看懂：

Y 等于c 乘以X 的k 次方。其中，c是一个不重要的常数。这个公式是说，Y 和X 的 k 次方成正比。物理学家有时候会这个说法写成更简洁的形式（读作“Y 正比于X 的k 次方”）：

这就是贯穿全书始终的公式，物理学家称之为“标度律”。其中，这个作为幂指数的k，决定了整个系统的性质。

如果k=1，那就是线性关系，你可以按照简单的比例缩放，X 增长一倍，Y 也增长一倍；如果k>1，那就是超线性（superlinear）关系；如果k<1，那就是亚线性（sublinear）关系。

这基本上就是你在本书中需要的全部数学知识。

例如，面积是与长度的平方成正比的，体积是与长度的立方成正比的，那么你就可以推导出来，面积是与体积的2/3次方成正比的。对生物体来说，我们又知道，它的重量是与体积成正比的，而力量是与面积成正比的，也就是说，一个生物体的力量是与它体重的2/3次方成正比的。k=2/3。

这是可以验证的。化学家M. H. 利兹克（M. H. Kuetzke ）就用1956年奥运会举重比赛的成绩验证了伽利略当年提出的这个尺度关系。

举重比赛是按照体重分级的。利兹克把每个级别的金牌和运动员的体重放在一起，画了一张图。这张图是用对数坐标来画的。

为了理解这张图，咱们还是回到刚才那个公式。对公式两边取个对数，就是：

log Y=log c + k log X

这意味着，在对数坐标图上，Y和X的关系曲线应该是一条直线，而这条直线的斜率就是k。这正是利兹克看到的！

举重冠军的力量与其体重的关系

咱们看这张图，体重和成绩的对数关系正好就是一条近似的直线。利兹克算出这条直线的斜率是0.675，非常接近理论值2/3=0.667。奥运会举重比赛的成绩几乎完美地符合力量正比于体重的2/3次方这个定律。

因为这个定律中的k=2/3是小于1的，所以相对于体系的增长，力量的增长速度是比较慢的。这就意味着越小的东西反而看上去越有力量。

蚂蚁非常小，但是它可以背起比身体体重重很多的东西。小蜜蜂的活动频率远远高于人类。伽利略当时就说了，一只小狗能背起两三只与它体重相等的小狗，但是一匹马就驼不起一匹与它体重相等的马。

作为孩子家长的我对此深有体会。大人已经很累了，孩子仍然在不知疲惫地跑来跑去。这并不是说我们应该向孩子学习什么“积极向上的精神”......根本原因在于孩子体重轻，他们的相对力量更强。

好，道理讲明白了，现在咱们考虑两个应用。

（待续）

来源：

万维纲。规模的硬规律。见：《规模》解读本。中信出版集团。2018.6

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