15.7 楔积

科幻小说《三体》提到高级文明的超级武器叫“降维攻击”，将立体特征压为平面。这其实是错误的说法。

一、线元特征和体元特征

n维线性空间是指n个线性无关的特征基组合，特征基的个数即维度。请注意，线性空间的特征元是向量，向量表征一阶属性。而一阶特征元向量无论多少个相加，还是一阶特征属性的。一个向量代表线性，n个向量相加还是线性的。无论多少个向量组合相加，充其量只能刻画一条‘线’，永远不会成为‘平面’，或者‘立体’。换句话说，n维线性空间只能刻画‘线元’，无法表达高阶‘体元’特征。

抽象数学中，如果x、y、z分别代表一阶向量，则“二阶面元xy”具有2重复合特征属性，“三阶体元xyz”具有3重复合特征属性。

一般而言，表达特征元加法的维数，和表达特征元复合乘法的阶数，并无瓜葛。3阶4维是正常的张量，9阶6维张量也是允许的。

二、2阶楔积

有种特殊的高阶张量，楔积。其维数和阶数是有关系的。

楔积的特殊性来源于，其两个特征元乘积具有反对称性，即：

因为此，如果楔积中有两个特征元相等，则等于零。所以楔积的阶数不可能大于维数。也就是说，楔积中阶数和维数是有关系的。

楔积在经典物理和场论中应用广泛。

比如，Poisson括号：

  又比如力矩，即力和径向的外积，具有反对称性

它们都是二阶楔积，反映二重复合特征属性。

三、K阶楔积

K个特征元的复合乘积，如果乘积具有反对称性，得到K阶楔积，称为K形式（英文K form）。具有K重复合特征属性。

四、n阶体元

L个特征元的复合乘积，如果乘积具有反对称性，得到L阶楔积，称为L形式（英文L form）。具有L重复合特征属性。

同样的，n个特征元的复合乘积，如果乘积具有反对称性，得到n阶楔积，称为n形式（英文n form）。

n个特征元的楔积，即“n阶体元”。具有n重复合特征属性。

五、体元的模

类似向量有特征方向、有模的大小。体元具有特征属性、也有模的大小。

楔形运算符的结果在这里的意义是两个一阶导数张成的面积向量(即，特征属性是面法线向量方向，而模是面积大小)：

二阶行列式，平行四边形的面积表示二阶楔积的模（标量）的值。（注：本例中向量积是叉乘，是楔积在三维空间的一个特例。）

六、楔积对偶空间

根据楔积反对称性定义：

得到：

可以发现，楔积L形式和其对偶空间（n-L）形式具有相同维度：

比如，当n=3、L=2时，贴切的例子是叉乘。3维空间叉乘等于对偶契积，即1 form形式。所以，二阶特征元叉乘变成了一阶特征向量。

七、完备性

n阶流形

切空间是特征属性除法（特征属性倒数的复合乘积）。

微分形式就是全反称全下指标张量，是流形上微积分的作用对象。 
   

逆变张量特征属性复合乘积，协变张量特征属性倒数的复合乘积

对偶矢量基底的楔积构成微分形式的基底。由于全反称性，这个基底张成的线性空间维度是一个组合数。

  流形的定向，由处处连续非零的L形式场（体元场）确定。

L形式和（n-L）形式互为对偶空间，二者形成n维完备空间。