你会概率思考吗？

■武夷山

（发表于2021年9月23日《中国科学报》）

2月，英国剑桥大学出版社出版了美国哈佛大学工程和应用科学学院应用数学和应用物理学教授Ariel Amir的著作Thinking Probabilistically：Stochastic Processes， Disordered Systems，and Their Applications（本文作者译为“概率思维：随机过程、无序系统及其应用”）。Ariel Amir是2011年在以色列魏茨曼科学研究所获得物理学博士学位的。

概率论在物理学、工程学、计算机科学、化学、生物学和经济学等众多领域有广泛的应用。本书旨在通过来自上述学科及更多学科的例子，让读者熟悉概率论、随机建模和随机过程的各种应用。有了丰富的案例，读者就会明白什么样的问题最适合用概率论来解决。

本书将重点放在概念理解、直觉培养和启发获取上，尽量减少技术细节的叙述。同时，本书也力图让读者对相关主题的深度有所领略。只要具备本科程度的数学背景（需要掌握微积分、线性代数和基础性的概率论知识），读者阅读此书后就打下了一定的基础，可进一步接触更专业的内容，比如可以阅读涉及概率论应用的最新论文，可以理解相关领域的术语、背景和采用的工具。

本书覆盖的领域相当宽，包括马尔科夫过程和随机游走、郎之万和福克—普朗克方程、噪声、广义中心极限定理和极值统计学、随机矩阵理论和渗流理论，等等。

作者在“引言”的正文之前引用了柏拉图《斐多篇》中的一句话：“我深知，根据或然情况（probabilities）所做的论证都属于行骗，除非在使用这些论证时十分小心，不然它们就易于发生欺骗效果，无论是在几何学上还是在其他事物上。”而现在，处理或然情况的概率论成了一门科学。

“引言”还提到以下内容：

随机性引出新现象。美国物理学家安德森在1972年发表的一篇文献中创造了一个说法“多意味着不同”。那么我们也可以说“随机意味着不同”。

本书将给读者提供一些工具，以帮助理解与无序系统和随机过程相关的现象。内容包括渗流（这个概念对于高分子、凝胶、社交网络和传染病传播都很重要）；随机矩阵理论（它有助于理解核层次和原子层次的统计学，有助于对生态系统的某些性质建模）；随机游走和郎之万方程（有助于理解物理学、化学、细胞生物学及金融学中的许多应用情景）。本书重点是相关现象之认识与量化。

本书第一章是导论性的，给出了一些概率论导致反直觉的结果的例子。

第二章讨论了随机游走和扩散，为后续章节奠定基础。

第三章以第二章介绍的简单随机游走为基础，讨论了郎之万和福克—普朗克方程。

第四章处理“越过障碍逃逸”问题。该问题可认为是第三章所述内容的一个复杂应用，但意义很深远。

第五章对于与信号和噪声打交道的人很重要，该章利用前文交代的知识，分析了几种系统（包括白噪声、电报噪声和1/f噪声）的功率谱（即噪声特性）。

第六章讨论了中心极限定理的一些基本结果、局限和推广，以及相关的“极值分布”。

第七章讨论反常扩散，可认为是第六章内容的一个高级应用。

第八章讨论随机矩阵及其应用。

最后一章即第九章“渗流”触及一些基本概念，如突现行为、重整化群、临界现象等。

每一章后面都有习题，与多数教材的习题不一样，表述得很简洁，甚至含义模糊。故有些读者也许会抱怨“题目并不难，只是我看不懂题目是什么意思”。

其实，作者是有意识这么做的，因为真实世界的情形就是如此，无论在学术界还是在产业界，弄懂如何构建一个问题要比解决此问题更具挑战性。

《中国科学报》 (2021-09-23 第7版 书评)