云朵不是球形的，山峦不是锥形的，海岸线不是圆形的，树皮不是光滑的，闪电也不是一条直线。

——分形几何学之父Benoit Mandelbrot

话说在一个世纪以前，数学领域相继出现了一些数学鬼怪，其整体或局部特征难以用传统的欧式几何语言加以表述。著名的数学鬼怪包括处处不稠密而完备的Cantor集，每段长度都无限而围成有限面积的Koch曲线，面积为零而周长无限的Sierpinski三角形。

Koch 曲线

Sierpinski 三角形

这些数学鬼怪曾缠绕数学家多年，直到20世纪后半叶，才被美籍法国数学家Benoit Mandelbrot创立的分形几何学彻底制服。分形几何学是新兴的科学分支混沌理论的数学基础。1967年Mandelbrot在美国《科学》杂志上发表了题为“英国的海岸线到底有多长”的划时代论文，该文标志着分形萌芽的出现。在这篇文章中Mandelbrot证明了在一定意义上任何海岸线都是无限长的，因为海湾和半岛会显露出越来越小的子海湾和子半岛，他将这种部分与整体的某种相似称为自相似性，它是一种特殊的跨越不同尺度的对称性，意味着图案之中递归地套着图案。事实上，具有自相似性的现象广泛存在于自然界中，这些现象包括连绵起伏的山川，自由漂浮的云彩，江河入海形成的三角洲以及花菜、树冠、大脑皮层等等。Mandelbrot将具有自相似性的现象抽象为分形，从而建立了有关斑痕、麻点、破碎、缠绕、扭曲的几何学。这种几何学的维数可以不是整数，譬如Koch曲线的维数约为1.26，而Sierpinski三角形的维数则接近1.585。

分形植物（在生成分枝形状和叶片图案时遵循简单的递归法则）

分形闪电（经历的路径是逐步形成的）

Mandelbrot研究了一个简单的非线性迭代公式x_n+1=x_n²+c，式中x_n+1和x_n都是复变量，而c是复参数。Mandelbrot发现，对某些参数值c，迭代会在复平面上的某几点之间循环反复；而对另一些参数值c，迭代结果却毫无规则可言。前一种参数值称为吸引子，后一种所对应的现象称为混沌，而所有吸引子构成的复平面子集则称为Mandelbrot集。Mandelbrot集是有史以来人们创造、制作的最诡异、最瑰丽的几何图案，因而被称为“上帝的指纹”和“魔爪的混合”。混沌理论是描述自然界不规则现象的有力工具，它的出现被认为是继相对论和量子力学之后，现代物理学的又一次革命。在非线性科学发展的过程中，分形与混沌有着不同的起源，但它们都是非线性方程所描述的非平衡过程和递归迭代的结果。它们共同的数学始祖是动力系统，奇异吸引子就是分形集。换句话说，混沌是时间上的分形，而分形是空间上的混沌。

Benoit Mandelbrot (1924—2010) 和 Mandelbrot 集

洛伦兹吸引子是维数接近2.06的分形

斯蒂芬·威廉·霍金近作（有关黑洞的形成视为经典意义下的混沌过程）

分形几何学与混沌理论在数学、物理学、生物学、地质学乃至股票波动、基金涨落等许多自然与社会科学领域中都有广泛应用。人们在书籍和网络上浏览、欣赏到的各种变幻无常、美妙绝伦的分形作品一般都是使用迭代算法通过计算机制作而成的。由于迭代过程涉及大量的数值计算，基于分形几何学和混沌理论制作高清影视作品大多要求所使用的迭代算法高效稳定，所使用的硬件设备计算能力强大。分形几何学与混沌理论作为当今非线性科学中活跃风靡的前沿学科，它们的出现不仅向人们展示了数学科学与艺术审美的内在关联，也从某个方面揭示了自然和精神世界的本质差异。这些学科的发展将会有助于改进人们理解、认识、探索物质和精神世界乃至宇宙苍穹的途径和方式。

分形与混沌艺术

围绕十二面体的三维树分形

马丁迭代

玫瑰线

谨以此文向刚刚辞世的科学巨匠斯蒂芬·威廉·霍金表示深切哀悼！

（本文经王东明教授审阅，图片均来源于网络）

（黄博）

来源：阿狗数学AlgoMath

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