杨新铁
对Maxwell方程组的研究和讨论 黄志洵l
2022-6-13 23:14
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对Maxwell方程组的研究和讨论 黄志洵l

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(中国传媒大学信息工程学院,北京100024

 

摘要:经典电磁场理论的核心是Maxwell电磁场方程组。它的每个公式都有实验实的支持,数学逻辑严密自洽,在应用方面经受了长期考验;因此,其正确性无可怀疑。……但是,Maxwell方程组是由多个矢量化偏微分方程组成的,其严格求解不仅复杂而且困难,甚至难倒了数学家。此外,该方程组可能不够全面和完善,本文对此作了详细分析。

对于Proca电磁场方程组,我们持肯定的态度,认为它是对Maxwell方程组的补充和改善。文中推导了Proca波方程(PWE)结果是对称的。不知道Proca本人为何未作推导,本文弥补了这一缺陷。

对中国科学家最近提出的扩展的Maxwell方程组,本文认为应当重视并展开讨论。

关键词:Maxwell方程组(ME)Maxwell波方程Hansen函数Proca方程组Proca波方程扩展的Maxwell方程组

 

1  引言

英国物理学家J.Maxwell1831-1879)在电磁理论方面的贡献可I.Newton经典力学方面的贡献相比拟。Newton建立人类史上第一自然科学理论体系,Maxwell则精辟地概括了19世纪电磁学的精华并作了创新。他们两人是伟大的,人类工业文明和信息社会的建成得益于他们。当然,Maxwell并不是孤立的研究者——前有M.Faraday,后有H.Hertz;正是由于他们人的努力才有可能建立Maxwell方程组;这是经典电磁学的最重要的理论,收集、提炼和浓缩了电磁实验现象基本规律。

众所周知,Faraday科学思想突出表现在“力线”的概念上,它包含力线、力线。Maxwell先仔细研读了Faraday的著作《电学实验研究》,然后力图用数学表达Faraday的思想。1856Maxwell[1] 发表首篇电磁学论文Faraday力线”,其中提出6关系,即1861-1862Maxwell发表另一篇电磁学论文论物理力线”,中提出一全新概念位移电流”,计算方法是1865Maxwell[2] 发表最重要的一篇电磁学论文A dynamic theory of electromagnetic field”,其中不仅最先提出“电磁场”一词,而且给出20标量方程组成电磁场方程组。年后,德国物理学家H.Hertz归纳总结为4个矢量方程Maxwell方程组,本文简称ME我们要注意它的特点,其组成要素是4独立的矢量偏微方程,构为完整表述电磁场特征的数学物理学系统。它的价值和用途立即显示出——Maxwell此基础上推出了电磁波方程是一通过电磁场传播的扰动”,确立了光与电磁波的同一,这在光学发展中是绝无仅有的事。,后人把这篇章称为19世纪伟大的一篇科学文献是有道理的。

Maxwell方程组是长盛不衰的,这是由于其每个方程都有实验实的支撑

 

的数学逻

辑严密而自洽。在20世纪及其以后,已有许多电子计算机软件程序用来扩展它的应用,人们确实也解决了许多工程技术问题。……但是,对待ME不能绝对化由于它是一种建立在经典物理和古典数学基础上的唯象理论其不足之处也渐为人们认识。专家指出其理论欠严格与现代数学、现代物理学略有脱节忽略粒子性对场的完备性问题难以解决这些问题在今天已突出起来。人们在问传统的ME求解方法是否存在不能求解的问题? 是否有更加完善的方程组?

为了证明今天仍有重新研究和对论Maxwell方程组的必要,这里再举出几个例子。首先,ME及由它导出的电波波方程都是矢量方程,严格求解是很困难的[3],除非一再作出近似。经典电磁理论只在处理标量偏微分方程组时才现出严格性。

又例如,1964年物理学大师P.Dirac[4]: 我们打算研究Maxwell方程组并不精确成立的可能性当距离产生场的电荷非常近时,或许必须修改Maxwell场理论,以便将其变为非线性电动力学。”.…确实,虽然研究非线性Schrödinger方程(NLSE)的文献相当多[5],甚至有人写了题为《非线性量子力学》[6]或《非线性光学》[7,8]的专著笔者却没听说什么人在研究非线性Maxwell方程组(NLME)

再如,物理学史告诉人们说,Maxwell场论解释不了光电效应(一种用光子在金属板表面击出电子的现象)。正是由此出发,A.Einstein提出了光子假说[9],用此理论对光电效应作出了解释,因此获得了1921Nobel物理学奖。那么,为什么Schrödinger[10]方程既考虑波动性又计及粒子性,从而完美地解释了微观世界Maxwell场论却完全不考虑粒子性? 当然,在1865年那个时期,连对原子的认识都很差,更谈不上解微观粒子但为什么在1936A Proca [11]提出考虑光子静止质量(即取0)的理论之后,甚至直到现在,科学界对Proca方程组仍然不予重视这难道是合理的吗?!

本文的主是研究和讨论Maxwell方程组这个科学珍珠可能存在的瑕疵,讨论其解决的方法

 

2  Maxwell方程组的一般关系

ME在不同单位制中有不同的形式最常见的是MKSA单位制中的写法,称为ME的标准形式

                                              1

                                              2

                                         3

                                          4

式中是电感应强度,是磁感应强度,是电场强度,是磁场强度,是电流密度,以上各项均为量。另外,是体电荷态度,是标量。公式(3)被称为Maxwell第一电磁定律,我们简称为Law 公式(4)被称为Maxwell第二电磁定律,我们简称为Law Law Law ME的精华。然而,公式(1)(2)却不能称为Maxwell定律,其原因如下先看公式(1),由于在一定条件下有以下关式成立

                                                (5)

式中是电容率(permittivity)故可有

                                             1a

上式表明体电荷密度是产生电场强度的源这个方程的实验基础是电荷可以在自然界单独存在,它们之间的作用力服从Coulomb定律方程(1a)所确立的电场与电荷关系也称为电的Gauss定理。所以,严格而论公式(1)不是Maxwell的原创性贡献,虽然它是Maxwell场论中不可缺少的一部分。

另一个原因是,在一定条下可以由(3)式导出(1)式,这就损害了(1)式的独立性现在可把公式(3)写作

=                                      3a

在这里是总电流密度矢量

+                                            (6)

式中是传导电流密度(是导电率),而代表非电流源产生的电流密度矢量。

我们对公式(3)的左、右取

根据矢量代数,上式左边为,故有

0

相据所谓连线性方程

0                                           (7)

试中是体电荷密度代入前式,得

0

即可写作

式中是任一与时间无关的位置的函数考虑到场产生之前=0=0,即=0故得=  此即式(1)。可认为(1)式是ME第一定律的推论——但要满是两个条件是连续性方程成立,其次是场在有限时间内产生[12]

地,我们可以证明在一定条下,由LawⅡ可导出(2)式。不过,及到磁场性质问题,情况更为复杂。取是以实验事实为基础的——从来没有发现过所谓磁荷的存在磁的NS极总是成对出现,磁力线总是合的(Faraday很早就注意到这个情况)1931P.Dirac[13]提出,只有一种磁极性的磁基本粒子应当可以存在,称为磁单极子(magnetic monopole)。但实验物理学家的长期寻找,都没有发现磁单极,只是1982B.Cabrera[14]宣布,他在低温超导技术的帮助下可能找到了磁单极然而科学界并未认可这一成果。

但是,磁荷在理论运行中却是一个有用的概念。从磁的Coulomb定律出发,可以这样定义磁场强度

=                                               (8)

式中是磁力(矢量)是磁荷。这种观点中,用(而不用)来表征磁场。与磁荷观点不同的是电流观点,它以Biot-Savart定律为基础,用磁感应强度(矢量)来表征磁场。不过,对同样的物理对象,二者的计算结果本质上相同。

3  电磁场理论中的本构关系

1952年,荷兰Leyden大学教授C.Böttcher[18]的专著《Theory of Electric Polarisation》出版。此书共有492页,最先论述的是静电学中的一些概念和问题,其中首先是矢量,然后是电极化(electric polarisation)矢量,再谈电容率然后讨论偶极子的反射场,极化与能量,静态场或低频交变场中的极化介电物质,静态场或低频交变场中的非极化介电物质,光频下的极化,高频率极化,介电损耗,固体的极化等等。由此书可知,当电磁场和物质相互作用时,其理论是既丰富又复杂的。

对于气体、大多数液体、许多固体而言,矢量的方向相同。在这种情况下可写出公式(5),即=。在中等强度的静态场中,取决于物质的化学组成和密度,而与无关。这时又把称为介电常数(dielectric constant)。上述关系式不仅对静态场正确,对于低频率的交变场也是正确的。对于高频率(例如一直到光频),这时会在之间产生相位差,从而在之间产生相位差。在以上表述中,是电极化密度(density of electric polarisation),简称电极化,它是矢量,是在空间点上的值,其物理意义详后。

电极化定义来源于下式

=

是感应偶极矩(induced dipole moment)是体积故有

=

故单位体积的感应偶极矩即电极化。

在电介质极化理中有所谓本构方程

==+                                 (9)

式中是真介电常教由上式得

=()                                  (9a)

这表的存在是以0为前提。

必须指出,对电极化密度(电极化强度)的有关推导,有时要和从磁荷概念出发的论点联系起来。下式是有关磁场的本构方程

==(+)                               (10)

矢量是磁化(磁化强度)矢量,其地位与对应。有的研究者(例如朱兰成)曾经熟练地用来帮助解决介质非静止时的ME推导。

电磁理论中的本构关系指的是处于电磁场中的介质内产生电极化和磁化等物理量与电场强度、磁场强度之间的关系。无论何种介质,只要建立描述这些介质的本构关系,代入到ME之中,就能获得正确的结果。

 

4  为什么要矢量波函数(Hansen函数)

电磁理论的发展已证明下述矢量微分方程是普遍适用的

0                            (11)

矢量函数可以是,或Hertz矢量而上式称为电磁波的矢量波方程适用于无电荷源的区域。如该空间无传导电流(=0)则有

0                                    (12)

对单色波则有矢量Helmholtz方程成立

(+)=0                                        (13)

式中=根据算子Laplacian的定义上式为

0                       13a

对于直角坐标系而言3个单位矢是常矢量可分解为3个分量每个分量(=,,)均满足下述标量Helmholtz方程

(+)=0                                      (14)

从而为使用分离变数法创造了前提。但是上述分量求解法常常无法实施因曲线坐标系中3个单位矢不是(或不全是)常矢量故上述作法只能得到包含3个分量的耦合方程亦即中对任意分量作分离变数时每个分量的3个函数乘积的Laplacian都与3坐标有关即相互耦合的故无法进行。

20世纪30年代W.Hansen[19]提出直接求解矢量波方程的见解其矢量波函数Hansen函数。但Hansen函数是直接满足矢量波方程的具体如下。设函数()是下列方程的本征解

(+)=0                                      (14a)

边界条件=0(第一类边值问题)=0(第二类边值问题)

=                                            (15)

=                                        (16)

=                                        (17)

式中是常矢。

由于=0=,无旋有散场又可证明=0=0≠0≠0有旋无源场。另外可证·=0·=0·≠0;为使·=0为特殊矢量实际上柱坐标时选轴上单位矢量球坐标时选向单位矢就可使·=0。因此称为引向矢量。于是三者互相垂直。

由于==()故有

(+)=(+)=0                        (18)

此外又可证明

(+)=0                                       (19)

(+)=0                                       (20)

可见满足标量Helmholtz波方程所定义的泛函确能满足矢量波方程。

由于满足式(14a)和边界条件的本征函数可有无限多

(+)=0    (,,)                     (14b)

的具体数值为:=0, 1, 2,  ; (++)也满足矢量波方程。既如此它可用来代表等。这样表示电磁场时可知该场必包含有旋及无旋部分。如已知只有旋量场则只有展开即可。

例如规则柱波导沿轴是行波截面上是驻波电场写作

=

下标代表横向故有

=

式中为横向波数

=

由于满足横向标量Helmholtz方程

(+)=0

式中=现在

==

在横截面上括号内前项为零故有

=

=故有

=                                          (21)

是在在横截面内(互相垂直)它们与垂直。

例如TE电场在横截面内不包括分量又因在无源区内应为旋量场故用表示即可。而磁场必有纵场()部分描述电场表示式为

==

不同的代表不同模式为符合习惯改用代替

=

=1时得到归一化电场为

=                                          (22)

归一化横向磁场为

=                                            (23)

归一化纵向磁场为

=                                        (24)

这些表示式可用于某些结构(例如微波电磁兼容设GTEM)的工程计算

现在对电磁场完备性作粗浅讨论(不涉及C.T.Tai的理论)按照Helmholtz定理分解为无旋场与旋量场之和

=+=                              (25)

分别为标量及矢量势;为无旋有散场=为有旋无源场两者解的集合构成完备场的解的集合可证明如下

=

=

当令=表示在边界上=0==0等式右首项为零而第二项永远为零故有

=0

这说明在所给空间内矢量函数空间可唯一地分解为两个完备且不相交的子空间即场

{}={}∪{}  {}∩{}                         (26)

这里可以是电场或磁场=0=0正是第一、二类边值问题。

 

5  矢量电磁场方程组和矢量电磁波方程的求解问题

在许多人认为自己已用Maxwell论处()许多工程技术问题。这并不为错,目前的作法可能并不;因为我们面对的是矢量偏微方程组和矢量波方程,要并不容易。

前面所述矢量函数(以及)其实就是Hansen函数,那么其意义何在? 正如大家所知,经典电磁理论只在处理标量偏微分方程组时才呈现出严格性,但Maxwell方程组是矢量偏微分方程组,人们一直缺少解决方法。当由矢量波方程在单色波条件下转为矢量Helmholtz方程,就会发现在一般曲线坐标系时只能得到分量的耦合方程,不能进行分离变数。1935-1937年,W. Hansen[16]在一组研究天线辐射题的文章中提出了直接求解矢量波方程的建议;他针对矢量波方程构造出独立矢量函数解,因而矢量波函数又被称为Hansen函数;他实际上是用标量Helmholtz方程的本征函数作原基,进一步构造成新的正交基,使之直接满足矢量Helmholtz方程和相应的边界条件;这样的泛函直接满足矢量波方程,使直接求解的工作有了开端。1941年,J.Stratton[17]介绍了Hansen的思路,给出解法,讨论了解的形式,补充引入了矢量函数解;当时及以后,人们不认为函数与在性质上有重要的区别。

1971年,C.T.Tai(戴振铎)[18]指出,可以用并矢Green函数直接求解Maxwell方程组的边值问题,给出了形式完美对称的表达式。但随即有人指出其公式两边不恒等,解是不完备的;具体讲,Tai所得到的并矢Green函数虽满足坐标对称,但不包含函数。1973Tai[19]自己作了修改,给出的新表达式多加了一个包含函数的奇异项(代表源区场),这引起了争论。1991年宋文森[20]在其专著《并矢Green函数和电磁场的算子理论》中给出的推导,是没有奇异项的。由于上述工作数学上艰深复杂,又无法用实验来证明何者正确,学术界难以取得共识。这就是争论中的“电磁场完备性问题”。1998年,任晓雨在其博士论文中指出,有关矩形腔电并矢Green函数的争论源于对函数的不同理解——人们一直未认识到是物理意义不同的波函数(满足的方程不是无源时电磁场的解,而另两个是);他认为函数只是一种数学工具。同年,任晓雨、宋文淼等[21]提出不计入函数也许是正确的——虽然没有函数的电磁场本征函数系似不完备,但这可能正是电磁场本身的特性,即电磁波场在Euclid空间中本来就不完备?! 从物理意义上看,一种观点认为非奇异项(Tai解答的主体部分)就是所需的物理场,奇异项则代表非物理场或“伪模。宋文淼则认为电磁场实际上包含了电磁波场(光量子场)和描述带电粒子间相互作用的场(虚光子场),即不再忽略粒子性——这与笔者近年来的学术观点和研究工作相接近。……总之,人们从不同角度对现有理论表明了看法。

实际上Born-Infeld的电动力学正是基于一个不同的作用量积分对Maxwell理论作了修正——该积分在弱场时与Maxwell作用量一致,在强场情况下就不相同。Born-Infeld的理论属于量子场论(或叫量子电动力学),而在1964年时Dirac认为量子场论的成功还“非常有限、不断陷入困难”。人们必定要考虑电磁场和波的量子化问题。在经典理论中,电磁场矢量的运动方程是Maxwell方程;在量子理论中,场矢量是作为算子来对待并受Maxwell方程支配。物理系统的状况由状态矢量代表。量子化系统描述中,Heisenberg图象是把本征矢量看作描述不随时间变化的状态矢量时形成的基底矢量。Schrödinger图象视状态矢量为时间函数,其运动方程则由Schrödinger方程规定。……虽然电磁波的量子化已不是新问题,量子电动力学也早已确立。但完全的量子化处理在理论上太复杂,故常用半经典法。

电子学家们发现,现在常把Schrödinger方程介入到宏观电磁问题(金属壁波导、介质波导、光纤等)中来。工程技术人员对这个方程不太熟悉,但正是它使经典电磁理论(Maxwell方程组为基础)的弱点得到很大程度上的克服和解决。

即使就当前电子学家在处理工程技术问题时的理论工具而言,单纯依靠Maxwell方程组的时代也已经过去。人们还依靠Schrödinger方程、Klein - Gordon方程、Dirac方程等去处理复杂电磁系统。又如,对于微波回旋电子器件,动力学理论是靠Maxwell方程组和Vlasov方程,二者互相联系并构成自洽场问题。

 

6  传统电磁理论的深刻化和现代化

19世纪末人们发现了电磁波,它在空间的传播呈现出能量和动量,H. Poincarè1900年的论文中曾作推导和阐述。在同一时期(1897)发现了电子,1924de broglie根据电子提出了物质波概念。但是,这种物质波仅为几率波,与电磁波很不一样。“光是电磁波的一种”是在1865年由J.Maxwell提出的,而1905A. Einstein提出了光量子假说,“光既是波又是粒子”看起来顺理成章。然而,20世纪20年代出现的量子力学(QM)表明,电磁波其实也是光子的几率波,宏观数量的光子把几率波实现为随时间变化的能量、动量分布。这是与电子的情况不同的——光子是玻色子(Boson),在某个电磁波模式上有大量的光子存在;但电子是费米子(Fermion),要服从Pauli不相容原理,在一个量子态只能有一个电子。……诸如此类的复杂情况都反映在对波粒二象性的讨论中。

波科学的发展是否只能走QM的道路? 例如在宏观层面的电磁波,是否可以通过对Maxwell方程组的深刻化和进一步引用现代数学方法,而实现理论上的提高甚至跃进? 这是科学家们在思考的问题。

2003年宋文淼[22]在《电磁波基本方程组》书中指出:当年Maxwell推出的方程组(以及后来由Hertz整理的简化形式)实际上无法求解只能对标量波方程求出某些特殊解。为了把数学基础从典数学转为现代数学使用矢量函数空间和矢量偏微分算子理论可从Maxwell方程组导出用两个标量函数表示的电磁波基本方程组实际上是纯旋量场(电磁波的场)的方程组。这两个标量函数称为态函数是反映电磁波群体特性的函数不是单个光量子的态函数。方程组形式为(在域内)

+=                                      (27)

+=                                       (28)

对简谐波

=

=

在边界上

=0

可以证明这方程组的解与旋量场算子方程在旋量场空间中的解等价。

实,波理论即使在宏观的情况下也是不完善的;那种没有轨迹、没有加速度、在不断增大的体积中连续分布的物质运动图景,直到现在并不为人们所理解;但是它又是物质运动中确实存在的事实。波理论的核心就是波函数空间的理论,这是一种与Newton的时空概念不完全相同的概念。在连续函数空间的数学模型中,只有在这一空间中建立“元素”(波函数或基函数)的过程中,才直接与Euclid空间的元素的坐标发生关系。此后的所有运算不是在Euclid空间的元素(坐标点)上而是波函数空间的元素(基函数系)上,不是按照Euclid空间的运算规则进行的。虽然Newton的经典数学理论中也解决了连续的概念问题,但是在Euclid空间中不仅允许函数及其导数存在不连续,或者说在一般情况下,Euclid空间中的运算常会出现各种不连续所造成了奇性,而波函数空间中不可能有任何奇性出现,因为在波函数空间中Euclid空间中的点不再是一个有直接意义的量,所以对于空间点奇性也变得没有意义。

 

7  光子静质量不为零时的电磁场方程组

在大学里,一般无人怀疑Maxwell电磁理论的正确性和应用的广泛性。然而正是因为Maxwell理论解释不了光电效应,Einstein才提出光子假说并取得成功。但是人们对光子的理解又不能脱离Maxwell理论——这就形成了一种逻辑循环或悖论。光子场(自由电磁场)是用Maxwell波方程描写的,而光子学说的出现则是由于Maxwell理论在光电效应面前一败涂地。

另一个例子是,在自然界中的波动(如田野里的麦浪、水面上的波浪)只是一种物质运动表象,而不是质本身。对电磁波来说,是不是一种物质?如果说“不是”,那么与电磁波对应的光子是不是物1923A.Compton的粒子碰撞实验,证明光子和电子一样都是物实体,具有正实数的动量。又证明在微观粒子的单个碰撞事件中动量守恒和能量守恒保持正确。用波粒二象性描述方式,电子对应的波动是物质”或“几率波”;那么光子对应什么波?通常认为是经典电磁波这个波不是几率波。那么可否对光子摒弃几率波概念?可是在双光子纠缠分析中还用得到这一概念。诸如此类的矛盾和问题困扰着物理学家;他把目光从经典物理移开,投了量子物理学,其实是很自然的。

1926年出现的量子力学波方程 (Schrödinger方程,SE) 给我很大的启示:

=0                               (29)

式中=(,)是波函数,位置矢量=是归一化Planck常数,是粒子质量,=(,)是粒子在力场中的势能。这个式子包含波粒二象性的两个方面,一是代表粒子的动能算符,二是反映波动过程。众所周知,SE描写电子的运动非常成功。由于SE对光纤分析的重要性,说明它描写光子运动也很成功。

然而前述的经典电磁波的波方程,只反映波动性,不反映粒子性,其方程中没有粒子质量下面将述及的Proca电磁场方程组和Proca电磁波方程,正是在这个问题上弥补了原有的缺陷。

粒子物理学通常假定Lorentz- Einstein质速公式为真[17,18]

                                        (30)

式中是粒子速度,是光速,=0时的静止质量(rest mass)。物理学教科书从未说过上式不适用于光子,因此人们不妨一试。但是,对光子而言两个关系式同时成立(=0,=),故其运动质量=0/0,是不定式;光子质量成为任意大小,这完全说不通。问题只能出在以下三方面:①质速公式不对;②光子静质量不是零;③光子运动速度不是光速。显然这三者任何一个成立都与狭义相对论(SR)不符。然而,很早就有人怀疑光子可能有非常小的静质量,并循此展开研究。

现在把讨论引向深入;由上式,可得

                                      (30a)

根据Einstein的光子假说,光辐射即大量光子(每个光子携带能量)的集合,单个光子的(运动)质量为

                                               (31)

式中Planck常数;代入前式后得

                                  (32)

上式指出,粒子速度取决于静质量和频率;如果已指定,那么v决定;故光子可能有三种情形:

(1)0,但为实数;这时<,粒子以亚光速运动。

=0,则=,粒子以光速运动。

0,但为虚数(=);则>粒子以超光速运动。

传统电磁理论选择了情况②。

在粒子物理学中,设粒子静止时具有能量,运动时获得的动能为。则总能量为=+,故有=;取粒子动量=,则在承认Lorentz - Einstein质速方程时可证明:

=                              (33)

故可得

=                                 (34)

这是一个被物理学界普遍接受的/比值公式。由上式知:当=0/=0;当增加,/将增大;当=∞,/达到最大值(1)。这样的分析,一方面用来说明粒子运动速度最大只能是光速,有时还用来说明SR并不要求光子=0——即使光子静质量不为零,似乎没有关系,只是速度取决于动能而已。

另一种观点是需要考虑的,是认为SR的第二公设(光速不变原理)决定了不会有光子的静止系,故光子静质量=0。这个观点如成立,那么说“SR不需要光子静质量为零的假设”,就不合适了。……总之,现有的物理理论充满矛盾,是不争的事实。

既然出现悖论,可以通过实验来研究这个课题[23]。多年来有许多实验结果,例如,1940de Broglie用双星观测方法,8×10-40g1969年,G.Feinberg利用脉冲星光进行观测,10-44g1975L.Davies等利用木星磁场进行观测,结果为7×10-49g;等等。另有许多研究者利用对Coulomb定律的检验来求光子的静质量,结果为3.4×10-44g3×10-46g1.6×10-47g,等。还有一些人从Ampere定律出发做实验,得到的结果有2×10-47g8×10-48g4×10-48g,等。进入21世纪以后,科学家仍在设计实验以求测量光子的静质量,例如《Phys. Rev. Lett. 》杂志于2003年刊登了中国学者罗俊等[12]的文章,报道他们用精密扭秤方法的检测结果是10-48g。后来罗俊给出以下测量数据:1998Lakes用静态扭秤实验得到2×10-50g2003Luo[24]等用动态扭秤调制实验得到1.2×10-51g

2006Tu等用改进的动态扭秤调制实验得到1.5×10-52g。……所有这些数据均为光子静质量上限;但罗俊说:“总有一天能观测到光子静止质量,而不是其上限”。……顺便指出,2005年笔者曾参观华中科技大学由罗俊团队建立的位于山洞中的光子静质量测量系统,产生了深刻的印象。几年后,罗俊教授晋升为中国科学院院士。

1936年,A. Proca[11]在假定光子静质量0的条件下,推导出与Maxwell方程组不完全相同的方程组。但是,Proca电磁场方程组并不是对Maxwell方程组的全盘否定,而是前者比后者更全面。或者说,Proca方程组的出现揭示了Maxwell方程组的近似性。Proca说,数学上的变分原理和物理上的量子电动力学(QED)思维导致下述的方程组成立:

                                       (35)

                                               (36)

                                  (37)

                                           (38)

可见,与Maxwell方程组相比,Proca方程组中有两个公式变了,另外两个没有变化。在以上公式中,是磁矢势,是电标势。系数

=                                               (39)

因此是与成正比的系数,笔者称之为Proca常数。如果光子无静质量(=0),则立即得到人们熟悉的Maxwell方程组。

Proca方程组并非有形式上的不同,带来了物理思想的变化。例如,我们知道,电磁场方程组在规范变换下的不变性称为规范不变性,这种变换形成局部规范群U(1),意思是代表变换的矩阵是一维的,即在U(1)下场方程的不变性。在Maxwell场方程的Lagrange理论中,用电磁场的Lagrange密度这样的量,对场变量变分即得到Maxwell方程。如放弃∪(1)规范不变性,Lagrange量需要修改——增加一个与有关的项,由此进行推导就得到Proca方程组。这时,矢势和标量直接出现在方程组中,规范变换失去了意义,规范不变性受破坏。

可以证明,在使用Proca方程组的情况下,电磁波的相速、群速为

                                       (40)

                                      (41)

=                                       (42)

称为截止角频率,其意义将在后面说明;故得

                                     (40a)

=/=/,得

                                             (40b)

                                              (41b)

故有

                                           (43)

因此在Proca方程有效时,相速与群速之积为恒定值()

可见,在截止点(==1)时,=∞,=0;当频率增高,波速很快地向值靠近;例如,当=10,计算得到=1.0051/=0.995,与1的差别只有0.5%。实际上,的值比10要大很多(例如=106~1010),故可知值是非常接近的。从理论上讲,在真空条件下有关,呈现真空中电磁波速的色散效应;只有→∞时,真空中相速、群速才与取得一致。显然,“真空中光速不变原理”已失去意义。……因此我们现在已经证明,认为光子静止质量不为零的理论是与狭义相对论不相容的物理理论。

另外,在真空条件下(即在完全的自由空间传播条件下)Maxwell理论表示==;而Proca理论则说,>(超光速)<(亚光速)。故两个不同的理论体系的认知有很大差别。……总之,从表面上看仅为对Maxwell方程组的微小修正,竟演变为动摇物理学基础理论之一的相对论的重大问题。然而Proca理论与量子电动力学保持一致。这似乎也证明了笔者一直持有的观点,即量子理论与相对论在根本上不相容

Proca理论或可看成QED介入到传统电磁理论中时产生的影响,它还带来其他的一些“反常”现象。例如,传统电磁波的横波性质受到破坏。众所周知,在传统理论中不能由给定的完全确定,故H.Lorentz曾引入下述关系式

                                        (44)

这是Lorentz规范,特点是规范变换如不成立,则有

                                               (45)

是波矢量,故与波传播方向垂直,即电磁波是横波。或者说,光子的极化方向与垂直(只有横向极化),对应3个分量中只有2个独立的偏振态。

如果0,规范变换受破坏,的独立偏振态数为3,故出现了纵波。光波将像声波一样会产生纵向振动,即存在纵光子。这就使我们对光子的认识更趋复杂化。

Proca理论对现行静电场理论也有影响。Proca方程在真空中的平面波解可写作

=                                       (46)

中的可以为在可以证明:

=                                           (47)

=/对静电场取=0,故有

=                                              (48)

这就出现了消失波状态,场强按规律呈指数下降。造成的影响是,静电场中点电荷的势将随距离呈现指数衰减,故Coulomb定律中的“平方反比规律”受到破坏,两个点电荷之间的作用力将为

    (>2)                                     (49)

尽管2很接近,静电场的Coulomb定律需要修改。

Proca理论的处境,有人排斥、有人赞同。1999V. Majernik[25]讨论了经典电磁场的复四元数代数分析方法,其中不仅考虑了Proca方程,而且考虑了T.Ohmara 1956年提出的方程,并在理论中计入了如果磁单极子(magnetic monopoles)存在对理论产生的影响。又如,2001S.Kruglov[26]论述了广义Maxwell方程组(generalized Maxwell equations)及其求解方法,所推导的广义Maxwell方程组包括了Proea方程组。2004S.Kruglov[27]讨论了Proca方程的平方根,从而得到自旋3/2的场方程;文章涉及了超光速、负能量、超引力等问题。这些工作不但回答了“Maxwell方程组是否存在不精确性”这样的问题,而且扩展了我们对光子的认识。

1给出了两大理论体系的比较;其中的“本质性评价”为笔者的个人观点,仅供参考。

 

1  两大理论体系之比较

 

Maxwell电磁理论

Proca重光子理论

光子的静止质量

=0

≠0

矢势的独立偏振态数

2

3

波的特征

横波

横波、纵波

规范变换

是规范场

规范不变性破坏

真空中光速值

=()-1/2

→∞时=()-1/2

光速不变原理

遵守

不遵守

对静态场Coulomb定律的态度

承认

部分承认

本质性的评价

有很大贡献;但有悖论及

与物理实际不符处

较全面、较与实际相符

 

8  Proca电磁波方程的推导;

怎样认识光子与电磁波的关系? 这问题看来简单,实际上并不容易回答。笔者的审慎态度是这样表述的——通常认为光子对应的波动为电磁波;但如认定光子是微观粒子的一种,则它应当有几率波性质。然而现时并没有光子的几率波方程;也就难于为光子定义波函数。

那么该如何看待光子的波函数(wave function)和波方程(wave equation)? 笔者的回答是——有一种看法认为自由态光子的波函数就是平面电磁波的波函数。与此相应,Maxwell电磁波方程就是自由态光子的波方程。……但这仅为一种简单化的看法,并未提供呈现光子物理形象的动力学。光子波方程的问题仍需研究。

我们还认为“光子无静质量假说”造成了理论自洽性的缺失。对有质()光子,可用1936年提出的Proca方程组取代Maxwell方程组。我们推导了新的电磁波和光子的波方程,称为Proca波方程(PWE)。在PWE中有包含粒子质量参数()的项,这与Schr&ouml;dinger波方程、Dirac波方程一致。这就使理论关系改善,而有质()光子与点粒子划清了界限。

笔者的上述认识来自三方面;首先,前已述及,SR关于光子无静质量的观点并不能自圆说。其次,接受光子有静质量观点的科学家越来越多,并非仅有中国物理学家罗俊院士这种看法。举例来说,美国物理学家R.Lakes[28]一直对光子静质量问题作理论实验研究,他曾肯定地说the photon is massive!”最后,科学理论是要追求严格和完善;如果你有一个光子有静质量条件下适用的理论,而你又想知道“如果光子无静质量会怎样”,那你只需对严格方程取=0就立即得到想要的结果。

为了方便,我们称Maxwell波方程为MWEProca波方程为PWE。正如从Maxwell方程组出发很容易导出MWE一样,从Proca方程组出发也很容易导出PWE。但不知何故,Proca没有做这个工作。2019年黄志洵[29]推导了PWE,弥补了这个缺陷;但当时由于粗心发生了一处错误,造成结果的不对称。王令隽教授指出了这一点,我们遂在2021年出版的书中纠正了这一错误[30]。以下的推导,当然按照正确的叙事。

前面已给出由公式(35)(36)(37)(38)组成的方程组;对式(38)两边取旋度:

(37)入,有

也就是

整理之,得到

由公式(35)可有

                                       (35a)

代入后得

对于无电荷的自由空间,取=0,故得

=0

由于Lorentz规范,=,故可得

=0                                 (50)

这是以电场强度矢量示的PWE,但等式左方比经典电磁波方程多了一项。

现在推导用磁场强度矢量示的Proca电磁波方程;从式(37)出发,对公式两边取旋度:

然而

故有

也就是

考虑到式(36)=0,故在自由空间(=0)

=0                                 (51)

这是以磁场强度矢量示的PWE公式(50)(51)是本文的主要结果,它们是对称的!若=0Proca波方程退回到Maxwell波方程。

必须指出,PWE的应用是一个重要而有趣的课题,限于篇幅本文不再讨论。

 

9  试论Maxwell方程组与相对论的关系

这是一个大题目,我们尝试从两个方向,即从Maxwell方程组(ME)的角度,以及从相对论(SRGR)的角度,客观、认真、严肃地分析。先看这两个理论体系的自身,究竟是否正确、可靠而完备? 能否经得起一些尖锐的质疑?

经典电磁理论体系,追根溯源,它一方面来自古希腊哲学家奠定的形式逻辑体系(这突出地体现在Euclid几何);另一方面又来自在欧洲文艺复兴期的“通过系统性实验发现事物的因果关系”这一卓越思想。经典电磁理论体系的发展,其基础是由微分方程论、矢量代数等构成的古典数学20世纪末叶,即在经典电磁理论遇求解困难之后,科学家又提出解决Maxwell方程组自洽解的方法——在Euclid空间中加一个中公理,即矢量偏微分算空间数学方法。另一个基础是由KeplerGalilei构建的自然科学实验研究框架,由此使经典电磁理论获得了如同Newton力学体系一样的牢固地位。……不过,笔者认为还有第三个方面,即在重视场与波这种物质运动形式,要加入粒子的考虑。例如光子静质量的研究以及Proca理论系统重新获得重视。在这情形下,可以充分彰显个经典电磁理论的哲学意义。

为哲学思维方法之一的辩证法教导我们,必须重视自然界的不同现象之的内在联系。Maxwell方程导致光的本质有了深刻认识——光就是电磁波的一;这个发现迅速拉近了电磁与光学之的距离。然而真空中光速,这个关系式又赋与真空一电磁特然真空还有其他特(),这促使人们惊讶地认识到,真空可以看质,它是很复杂的,不使用量子理论就说不清楚[31]

Maxwell曾说[32]应当了解物理相似性的存在,某两个学科在定上的局部似。因此用不可压缩流体流线类比于Faraday力线。在他,电磁学中的当于流体中的力,当于流体流量。

类似,当代空气动力学家竟然建立了以声速替光速的相对论公式2006杨新铁[33]指出,科学用流体学推导电磁场方程,期望电磁场方程的改提供更物质推导。可以证明流体同样有与Maxwell方程组类似的表达形式,他称为“连续介质力学方程组”,在其中也会有示物质运动的比值=/起作用,但在这里不是光速而是声速。确实,气动力进步已克服了=1的奇点所带来的激波(shock waves)的影响[34]1947年实现了使飞机以超声速飞行。因此,在理论上造成超光速运动变换也是可能性也是合理的。据此,杨新铁提出在改高能物理加速器上寻找超光速粒子的建议;后来又努力争取加速器专家的支持[35]。因此,从一个经典电磁场理论的完备性课题出发,会引出许多不同学科的交叉及融合,绝非一篇文章所能尽述。

现在看一下另一套理论体系,即相对论力学。长期以来,相对论在物理界被赋予《圣经》般的地位。任何理论如与相对论不一致,便立即失去被吸纳入人类知识体系的资格。一方面,与相对论不同的论文常被物理学刊物拒收;另一方面,一些物理家又指责说:“你的论文为什么不在物理学刊物上发表?……神化Einstein本人及他的理论(相对论)的作法由来已久,但并不能阻止科学家们(物理学家、天文学家、航天专家、电子学家等)对相对论提出批评,指出其逻辑不自洽(甚至荒谬)之处。由于笔已发表过两篇长文[36, 37],这里我们介绍另一些专家的观点。

英国Nottingham大学教授马青平曾出版两本批评SR的书——中文的《相对论逻辑自洽性探疑》[38](462),英文的《The Theory of Relativity[39](503)。在这两本共计965页的书中,充满了对SR的尖锐判,细指出Einstein错在什么地方。例如他指出:如果SR拒绝通讯交来验证双生子的时钟,那么相对论就成为彻底的江湖伪科学;因为,这种SR要求的时钟变慢远得不到验证,你自己的时钟不变,而对方的时钟只能推测(怎样观察高速飞行的飞船中的时钟?)。如果你让飞船飞回来,他又说你改变了匀速飞行的条件(虽然实验证明μ子的寿命只受速度影响而不受加速度的影响)。因此,对待相对论的态度,应该采取的Galileo以来的实验科学方法。Einstein声称的相对性从未得到证实。”

又如,天体物理及粒子物理学家李惕培院士对GR的批评[37]。他说,Einstein题在于把描写引力场弯曲细节的GR方程当作是引力规律的表达,造成用引力现象的几何描述代替对引力规律的探寻。把物理流形的弯曲归结为时空弯曲,把缺少运动质量引力规律的场方程冒称为引力方程。GR就是这样创立的。后来,Penrose等证明GR必然导致黑洞奇点和大爆炸奇点的存在;然而这既是非物理的又是反理性的。……李惕碚说,GR理论中因果关系颠倒,逻辑自洽性缺乏,实际上是坚持引力特“引力霸权”。这样的东西竟在百多年里奉为西方科学的最高成就,十分令人惊奇!

笔者在文献[36]中指出,狭义相对论(SR)与量子力学(QM)之间有严重的矛盾冲突。[37]将量子力学大辩论的情况加以整理,列为表格。可以看出,相对论中局域描述方式与QM中粒子波动性不相容,与QM中允许粒子转化也不相容。在粒子物理学中,非相对论QM是逻辑自洽的单粒子理论,然而所谓相对论性QM的前提在逻辑上是不自洽的,难于像SE那样作为单粒子运动方程。

可以说,从SRGREinstein的根本错误在于时空观不正确。例如,他认为时间、间不能分别立地存在,而必须合起来成为spacetime;又强行把每个都有的弯曲位形间说成是弯曲的spacetime。正如李惕碚院士所说,质量按线性规律产生引力势,而GR却用Riemann几何来表述引力规律,从而使Einstein落入由非线性张量分析织成的陷阱中。Einstein并不了解运动质量的引力规律,算不出引力场,便把引力场表现复杂性转给时空背景,把物理困难甩给了数学家。宙非常均匀平坦,是存在绝对时间的惯性,即Galileo空间。但GR用弯曲时空陷阱处理宇,并赋予一个反理性的大爆炸起和引力波等等,造成了天文学、物理学中的思想混乱。

那么,26岁的青年Einstein的成名作——论文“论动体的电动力学”[40],与经典电磁理论(ME)又有怎样的关系呢? 一个根本性问题是,ME服从Galileo变换(GT)不变性,还是服从Lorentz变换(LT)不变性? 早在2014年,梅晓春[41]在国外物理学刊物上发表论文,题为“在微观粒子相互作用理论中不存在LT不变性的证明”。2022年,梅晓春[42]发表另一论文,指出Einstein文章中有一个过去人们不曾注意的问题,即杜撰了电磁场相对论变换(我们简称RT),其公式

=

=

=

=

=

=                              (52)

公式的成立并未给出证明,这是Einstein为表示自己与40年前Maxwell理论一致,而强行写出的。那么现在如何证明这些公式不能成立? 梅晓春假定真空中有1个带电量为的粒子作匀速直线运动;可以比较Lorentz变换产生的电磁场,与按照RT得出的电磁场,结果二者不同! …… 从其他几个方面作论述,也证明经典电磁理论没有相对性。对照文献[41]所讲的,例如量子力学及量子场论中许多公式,都没有LT变换不变性。因此,无论宏观世界还是微观世界,相对性原均不成立。

另外,在2022年初,季国富[42]提出一篇论文,题为“论Mawel1方程组在Galileo变换下协变”。此文通过对电磁波方程的分析推导来证明,在不同的惯性下,波方程是按Galileo变换式协变的。此文可以作为参考。

尽管有了以上的多位专家学者的分析,但由于ME相对论究竟有无矛盾,是一个大问题。Maxwell 创立MESR问世早40年,他当然不知道以后会出现一个Einstein,更想不到自20世纪以来据说任何物理理论都要服从相对论的要求……当然,把Einstein当上帝、把相对论当圣经,十分令人反感但我们能否说,ME服从Galileo变换不变性,而不服从LT不变性呢?……就此事我询问一位国际知名的物理学家——美国田纳西州立大学王令隽教授他于202267日在电子邮件中提出了精辟的回答:

Maxwell方程符合Lorentz变换,是以相对论的成立为前提的。狭义相对论提出电场和磁场在不同的标系里的变换公式,这个变换公式是以相对论中的不同坐标系里的力的变换公式为基础的,而电场强度只不过是单位电荷所受的力。磁场强度也类此。所以,如果相对论不成立,相对论的场强变换也就不成立,因此ME也就不符合LT。人们希望用MELorentz协变性来证明相对论的正确性,借用Maxwell电磁场理论的伟大成就为相对论“背书”,玩的是逻辑循环的把戏:根据相对论场强变换公式使ME符合LT,反过来用ME符合LT来证明相对论的正确。相对论的诸多逻辑矛盾和基本大前提(包括光速不变原理)已经证明相对论是不可能成立的理论,其逻辑循环也就不攻自破。

即使我们退一万步,承认根据相对论的场强变换公式能使ME服从LT,也不能把Lorentz协变性当作普适的物理规律。某方程符合某种协变性,只不过是该方程的一个数学特征,不能因此就把它当作铁律,要求所有的物理理论都符合Lorentz协变性。

实际上,所有这些数学物理方程,除了波动方程有可能服从Lorentz协变性以外,没有一个方程服从Lorentz协变性。波动方程里面也只有真空中的电磁场波动方程服从,媒质中的电磁波动方程就不服从。声波的波动方程也不服从Lorentz协变性。所以Lorentz协变性只是描述大自然中各种现象的诸多方程式中的某一特定方程的一个数学特性,没有理由把当作一切物理理论的普适规律,当作大自然的铁律。

即使在相对论里面,Lorentz协变性也不是普遍遵守的,广义相对论就不遵守。相对论者可能诡辩说,广义相对论遵守的是不同坐标下的张量协变性,也是一种对称性。殊不知,广义相对论是直接违背光速不变原理的,而光速不变原理是Lorentz协变性的关键和灵魂。广义相对论违背光速不变原理,当然也就违背Lorentz协变性”。

王教授的论述,既深刻又易懂,不需要再作解释。根据以上所述,笔者认为以ME为核心的经典电磁理论,其正确性来自实验所现出的自然规律。它不需要相对论的“支持”或“批准”。其实是相对论者(包指Einstein本人)要从ME那里“借光”,以便加强自己对相对论的信心。

本文参考文献表中的[20][21],是著名电磁理论专家宋文的优秀著作。宋教授是我的朋友,在他那漫长的学术生涯中,从未感觉到相对论对自己的研究有什么重要性。相反,他认为相对论矛盾百出,缺乏说服力。有一位物理家在文章中说,相对论是他“评价一切理论的标准”;对此,宋文针锋相对地指出:“大自然才是科学家评判一切的标准,只靠信仰是得不到真理的!

 

10  关于扩展的Maxwell方程组

有报道说[43]2022113日,中国科学院北京纳米能源与系统研究所召开重大科研进展新闻发布会,由研究所所长、首席科学家王中林院士公布近期取得的重大科研成果:将Maxwell方程组基于静态电磁场理论推广到运动介质情形,成功拓展Maxwell方程组的运用范围,奠定了运动介质电动力学的理论基础。消息一经发出,引发物理学界热议,出现了很多质疑声音。”……

在一篇文章中,王中林[44]说:

“在Maxwell方程组中,有一个电位移矢量,而=+代表极化场密度。必须指出的是,ME公式成立的条件是介质的体积、表面及空间分布是不随时间变化的固定量。

一般来说,当存在电场时,介质将被极化。对于各向同性的电介质,表示为=(),这是电场诱导介质极化的结果。如果=0消失,=,这意味着如果没有电场,则没有位移电流,或者如果没有外部电场,则没有极化。这是电磁波的一般情况,之前所有的理论和应用都是针对这种情况开发的。而纳米发电机是由在表面产生应变感应静电荷的电介质、具有自由电荷分布的电极和跨外部负载的互连导线制成,该导线承载自由流动的电流()。一且机械扰动作用在介质上(例如,TENG),其静电荷的分布和或配置以及介质形状将随时间变化,从而引起介质极化场的变化。因此,必须在位移矢量中引入额外的极化项以便来解释这种介质极化电

在另一篇文章中,王中林[45]说:他的扩展Maxwell方程组(Expanded Maxwells equations of moving charged stationary media)——

                                      (53)

                                              (54)

                                  (55)

                        (56)

这个方程组引起了争议,为了方便我们称之为WE

本文并非要对WE作深入的研究和讨论,亦不能评判其对错,只想对一些人的意见谈谈看法。有一种人的说法是:运动介质力学已在1905年由Einstein解决了电磁场运动是相对论的必须满足LT,而非GT。他们认为这就是做错了事,可以Landau的著作。之,破坏了相对性原理就不可能正确。也有人说,自己“一眼望去”,就知道WE有问题,因为由MEGT即可得WEWE破坏了电磁场的相对论性。……等等。

笔者对这些说法不敢苟同,其理由及原因见上节。正如文献[46]所讲,用“不满足LT”来否定WE是说不通的。此外,介质电磁场的本方程本来就没有LT也就是说,ME其实并不满足LT性。……此外,不应拿相对论作为打击一切新理论的借口,也不能说前面有了EinsteinLandau的著作,后人就不能写自己的著作。

相比之下,王[43]的文章没有拿相对论作“棍子”,来打击王中林的新理论而是显示出包容和大度。王青是清华大学教授,讲授《电磁学》、《电动力学》课程30余年,专业水平高于前述的几位教授,治学态度仍然是谦虚谨慎。当然,他的文章也有需要商榷之处。例如王青认为WE是“用运动的场线讨论运动介质中的ME”,可能不太确切因为WE并未移动原来的电磁场,而是把介质运动对场的影响与原有电磁场叠加。但这些都可作学术上的探讨,不存在相对论者的盛气凌人,是可以接受的。

 

11 结束语

Maxwell方程(ME)为核心的经典电磁理论是长的,一直保持着强大的生命力。它是物理学的三大支柱之一,另两个是Newton经典力学体和以量子(QM)为核心的量子理论体。经典电磁理论在总体上讲是完备的,但也存在本文指出的若干问题。对这些问题的深入探讨不是为了否定经典电磁理论——由于它生于对无数电磁现象观和测量的基础之上,是对自然的物理实性的生动体现,它是否定不了的。进一步的探讨将改进它,提高其刻性和完备性,使这个科学珍珠更加明亮,益发光彩动人!

本文用深入的数学分析讨论了量化ME量电磁波方程的直接求解问题,这个课还有进一深化的必要,相信会引起人们的兴趣。本文指出,数学上的深刻化和物理概念上的现代化是相辅相成的。……本文用相当多的篇讨论了ME的粒子性改进方向,并推导了Proca波方程,以期引起学术界的重新认识和重视,体现对“波粒二象性”理念的坚持。最后,本文讨论了ME与相对论的关系,指出在不久前的讨论中一些人用“不满足LT不变性”来否定新提出的“扩展ME的理论,其理由并不充份。不过,由于未作深入研究,我们不对WE的正确与否下断语,但认为应当加以重视并展开研究,这才是活跃学术、鼓励创新的必由之路。

致谢感谢王令教授、梅晓春研究员和杨新铁教授的支持,以及相互间有益的讨论。

 

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[42] 季国富. https: //zhuanlan.zhihu.com/p/449076138.2022

[43] 王青. 物理与工程,2022, 32(2): 1~4

[44] 王中林. 物理,2021, 50(10): 649~662

[45] Wang Z L. Materials Today, 2021, 30(20): 1~16

[46] 梅晓春. 关于王中林的扩展Maxwell力程组. https://www.doc88.com/p-5804

7140434257.ht m1, 2022

 

 

Study and Discussions on the Maxwell Equations

 

HUANG Zhi-Xun

(School of Information Engineering, Communication University of China

Beijing 100024, China)

 

Abstract: The core of classical electromagnetic field theory is Maxwell electromagnetic field equations. Each of its formulas is supported by experimental facts, and its mathematical logic is rigorous and self-consistent, which has been tested for a long time in application. Therefore its correctness is beyond doubt.However, Maxwell equations are composed of several vectorized partial differential equations, and their strict solution is not only complicated and difficult, but even confounded mathematicians. In addition, the equations may not be comprehensive and perfect enough, which is analyzed in detail in this paper

As for Proca's electromagnetic field equations, we bold a positive attitude and consider it as a supplement and improvement to Maxwell's equations. The Proca wave equation(PWE) is derived and the result is symmetric. it is not clear why Proca himself did not derive it.but this paper makes up for this deficiency.

For the expanded Maxwell equations proposed by Chinese scientist recently, we think it should be emphasized and discussed in  scientific community.

Key words: Maxwell equations(ME); Maxwell wave equation; Hansen functions; Proca equations; Proca wave equation; Expended Maxwell equations

 

 

 

 

 

 

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