哥德尔第二不完全定理

如果一个数学系统是协调的，那么它的协调性在那个系统里不可证。（协调就是无法推出矛盾的意思。）

换句话说：

如果它的协调性是可证的，那么将出现矛盾。

下面这个推理题和哥德尔定理的证明有些类似。

推理题

逻辑之岛上有两种人：好人和坏人。好人只说真话，坏人只说假话。

一天，一个游客来到逻辑之岛。岛上的某居民对他说：你永远不会相信我是好人。

假设这个游客具有内省能力。什么样的内省能力？如果相信p，则相信自己相信p。举个例子。他相信地球是圆的，那他会相信自己相信地球是圆的。此外还具有完美的逻辑推理能力。

游客会推出什么？

下面我们来证明，假设游客相信自己不会相信矛盾，则他会相信矛盾。

游客推理：

如果我相信他是好人。那么我相信他说的是真话，那么我相信，我永远都不相信他是好人。

而我相信他是好人，则我会相信我相信他是好人。

所以如果假设我相信他是好人，将得到我相信，我相信他是好人和我不相信他是好人。这样我的信念就矛盾了。

而我是不会相信矛盾的，所以假设错误，所以我不相信这居民是好人。

游客接着推理：

我不相信他是好人，而他也说我不相信他是好人，这说明他说的是真话，所以他是好人。

推理到这里，由于游客具有反省能力，所以游客相信自己相信他是好人。

游客继续推理：

我相信他是好人，而他又说我永远不会相信他是好人，他的话是假话，所以他是坏人。

这时，游客既相信他是好人，又相信他是坏人。信念矛盾了。

所以，如果游客相信自己不会相信矛盾，那么他将相信矛盾。

认知逻辑

     上面实际上证明了：

B﹁B⊥∧B(p↔﹁Bp) ⇒ B⊥

     它和下式等价：

﹁B⊥∧B(p↔﹁Bp) ⇒ ﹁B﹁B⊥

     上面的式子里B表示相信，p表示那居民是好人，⊥表示矛盾。p↔﹁Bp表示：他是好人，当且仅当，游客不相信他是好人。

推理时，除了经典命题逻辑的规则外，还加了3条规则：

       (1) 如果A是逻辑定理，那么BA

(2) 如果B(p→q) ∧Bp，那么Bq

(3) 如果Bp，则BBp

其中(1)和(2)表达的是完美的推理能力，(3)是自省能力。

     上面的推理可以用符号严格地重写一遍。

和哥德尔定理的联系

将上面的B理解为“证明”。﹁B⊥∧B(p↔﹁Bp) ⇒ ﹁B﹁B⊥表示的就是哥德尔第二不完全定理。

在认知逻辑中直接引入B这个算子，但在哥德尔证明所用的数学系统中并没有这样的算子。他利用高超的技巧构造了“证明”这个谓词，同时证明了存在一个命题p，使得p↔﹁Bp是系统中的定理。他构造的命题p意思是这样的：本语句在本系统中无法证明。

在做完这些构造性的工作后，后面的证明就简单了，其过程和上面的证明一样。

参考资料：

Raymond Smullyan，Forever Undecided：A puzzle guide to godel，1987