统计物理学的基本理论框架是由玻尔兹曼在19世纪所发展的，后来它被完善为一个非常成功的理论物理分支，并成为描述原子分子群体行为的有力工具。
玻尔兹曼发展这套理论的出发点是指数函数分布，他发现微观粒子的能量分布可以用一个指数函数分布来表示。基于这个事实，他推导出粒子的总能量和粒子总数会满足一个微分方程，这个微分方程里还自动出现了一个非常重要的物理量“熵”，现在这个方程被称为“热力学基本方程式”，它涵盖了热力学的第一和第二定律。尽管这是一个非常伟大的工作，但是玻尔兹曼的推导中仍旧存在一些数学上的瑕疵，这导致他所得到的“熵”表达式不是广延的。
事实上，玻尔兹曼基于指数函数分布所发展的理论框架里隐藏着一个独特的数学结构，但是由于“配分函数”观念的发展，使得这个数学结构一直都没有被发现。2007年-2022年间，我的一个研究兴趣是利用玻尔兹曼的统计物理方法来研究经济系统中人的群体行为[1-12]。刚开始做这个研究的时候，只是纯粹的猜测和物理类比[1]，但是2011年之后我发现复杂系统领域有一些实证研究表明市场经济系统的收入分布近似服从一个指数函数分布，只有收入分布的尾部由幂函数分布（帕累托分布）近似。这使得我开始重视这个研究的严肃性，而正是因为如此，我发现玻尔兹曼本质上触及到了指数函数分布背后的一个数学结构，但是他没有走出最后的关键一步。
而我的工作就是发现了这个数学结构，它由一个偏微分方程所描述[5,7-13]，我这套理论的总结论文[13]刚刚发表在Journal of Physics: Complexity。
下面我简单介绍一下这个偏微分方程，以及物理工作者为什么没有发现它。
假如个体（粒子或者人）的分布函数（能量或者收入）服从指数函数分布：
其中 epsilon_j代表能级水平或者收入水平，a_j 代表epsilon_j 水平上的个体（粒子或者人）数量。
如此一来，个体的总数N和总能量（或者总收入GDP）Y的表达式为
从方程（1）得到方程（2）大家都很容易理解，统计物理学家则是利用方程（2）得到了Y 和N的微分方程，为了得到这个方程，他们使用了“配分函数”的技巧。
我的不同之处则是直接使用数学分析技巧找到Y 和N所满足的微分方程：
方程（3）中出现了一个新的变量，我们记为
在统计物理教材上，方程（4）是用配分函数的形式来表达的，它被称作“熵”，但是由于“配分函数”的使用，玻尔兹曼理论框架下的熵表达式不是广延的。2018年4月我曾在中国科学院理论物理研究所报告过方程（4），从当时做报告的反应来看，我发现统计物理学者并不知道方程（4）这种熵表达形式。
不过2023年的时候，湖南大学的刘全慧教授在他的博客中贴出一篇文章《2023年度最佳问题：一种不直接使用配分函数的玻尔兹曼统计理论》，他与自己的学生在2023年也发现了方程（4）的熵表达式。当然，刘老师的方法本质上还是基于统计物理方法，他们并没有探讨其中的数学结构。
那么，我的工作的核心点在哪里呢？
就在于如果方程（3）代表了Y的全微分，其中N和T是两个独立变量，那么一定存在下面的等式
了解全微分的读者朋友，仔细看看方程（3）是不是这么回事？
是的，方程（5）就是方程（3）是Y的全微分表达式的数学闭环。没有方程（5），直接说方程（3）是全微分在数学上是不严谨的。
好了，接下来我要干什么呢？将方程（5）代入方程（4）消去alpha和beta，从而得到一个独特的偏微分方程：
偏微分方程（6）就是隐藏在玻尔兹曼统计物理框架背后的数学结构，它由指数函数分布所导致。换句话说，只要研究对象的分布服从指数函数的形式，那么它就同样满足偏微分方程（6）。不管研究对象是“原子”也好，还是“人”也好，都一样，只要这个研究对象的分布服从指数函数。
指数函数分布有什么特殊性？
它具有“无记忆性”，并且是所有概率分布中唯一具有无记忆性的！
不妨简单的思考一个极端的情形，假如社会中每个人都是无记忆的，那么会怎么样？不就是个人决策的“去中心化”嘛。这不就是市场经济系统的特点吗？所以在市场经济系统中观测到指数函数形式的收入分布出现并不意外。
由于偏微分方程（6）的成立只要求满足指数函数分布，所以它是一个非常广泛的数学结构。从这个意义来看，玻尔兹曼的统计物理框架只是偏微分方程（6）的特殊情况，偏微分方程（6）还可以描述超出物理系统之外的其他“热力学”系统，包括人类社会。
为了意识到这一点，我们需要知道偏微分方程（6）有许多的解，各个解依赖于不同的边界条件，统计物理学本质上只是在研究偏微分方程（6）的其中一个解：
读者朋友很容易验证方程（7）是方程（6）的解，其中b_0代表常数。
为了看到方程（7）的本来面目，不妨把它写为微分形式：
这下就好辨认了，Y是内能，b_0是温度，N是粒子数，S=T+NlnN就是克劳修斯熵，反过来T=S-NlnN就是带有吉布斯项NlnN=lnN!的广延熵。
换句话说，偏微分方程（6）的其中一个解给出了热力学第二定律的数学表达形式，并且其熵自然是广延的。
但是方程（7）毕竟只是偏微分方程（6）的其中一个解，方程（6）还有其他的解。下面我写出偏微分方程（6）的另一个解：
其中a_0和gamma都代表常数。
容易验证方程（9）也是偏微分方程（6）的解，只不过这个解被我用来描述经济系统，其中Y代表GDP（总收入）、N代表人口总数、T代表社会的信息存量。
方程(9)作为偏微分方程（6）的解的独特之处在于它可以保证下面的偏导数存在解（对任意的N>0）：
可以很容易验证方程解（7）是不能保证方程（10）对任意N>0有解的。
那么方程（10）代表什么意思呢？它代表的是系统内的N个个体可以实现竞争均衡[11, 13]，这是一种纳什均衡，通俗来说就是对于彼此的决策达成一致的共识或者妥协，这是人类社会系统中人与人之间互动的关键特征。
但是对于物理系统中无生命的粒子而言，它们并不需要达成共识或者妥协，因为它们不像人，没有自我意识，从而也就没有个体偏好以及偏好所带来的竞争欲望。
从这个意义来看，竞争均衡的存在就是人类社会区别于无生命的物理系统的关键差别。
当然，上面只是简单的介绍了一些基本概念，想了解更加详细的内容（比如T为什么就是熵或者信息存量）可以直接阅读论文[13]:
https://iopscience.iop.org/article/10.1088/2632-072X/ad5822
这是一个开源期刊，所有人都可以自由下载阅读。
参考文献：
[1]. Tao, Y. (2010): Competitive market for multiple firms and economic crisis. Physical Review E 82, 036118
[2]. Tao, Y. and Chen, X. (2012): Statistical Physics of Economic Systems: a Survey for Open Economies. Chinese Physics Letters 29, 058901
[3]. Tao, Y. (2015): Universal Laws of Human Society’s Income Distribution. Physica A 435, 89-94
[4]. Tao, Y. (2016): Spontaneous economic order. Journal of Evolutionary Economics 26, 467-500
[5]. Tao, Y. (2018): Swarm intelligence in humans: A perspective of emergent evolution. Physica A 502, 436-446
[6]. Tao, Y., Wu, X., Zhou, T., Yan, W., Huang, Y., Yu, H., Mondal, B., and Yakovenko, V. M. (2019): Exponential structure of income inequality: evidence from 67 countries. Journal of Economic Interaction and Coordination 14, 345-376
[7]. Tao, Y. (2020): Self-referential Boltzmann machine. Physica A 545, 123775
[8]. Tao, Y., Sornette, D., and Lin, L. (2021): Emerging social brain: a collective self-motivated Boltzmann machine. Chaos, Solitons & Fractals 143, 110543
[9]. Tao, Y. (2021): Life as a self-referential deep learning system: A quantum-like Boltzmann machine model. Biosystems 204, 104394
[10]. Tao, Y. (2021): Boltzmann-like income distribution in low and middle income classes: Evidence from the United Kingdom. Physica A 578, 126114
[11]. Tao, Y., Lin, L., Wang, H., Hou, C. (2023): Superlinear growth and the fossil fuel energy sustainability dilemma: Evidence from six continents. Structural Change and Economic Dynamics 66, 39-51
[12]. Tao, Y. (2024): Generalized Pareto Distribution and Income Inequality: An extension of Gibrat’s law. AIMS Mathematics 9, 15060-15075
[13]. Tao, Y. (2024): From Malthusian Stagnation to Modern Economic Growth: A swarm-intelligence perspective. Journal of Physics: Complexity 5, 025028
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